Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Schritt 1

Multipliziere mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

Schritt 2

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $\cos^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

Schritt 3

Separiere Brüche.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

Schritt 4

Wandle von $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ nach $\tan (t)$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

Schritt 5

Wandle von $\frac{1}{\cos (t)}$ nach $\sec (t)$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan (t) \sec (t) d t$

Schritt 6

Da die Ableitung von $\sec (t)$ gleich $\tan (t) \sec (t)$ ist, ist das Integral von $\tan (t) \sec (t)$ gleich $\sec (t)$ .

$\sec (t)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Berechne $\sec (t)$ bei $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{6})$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} - \sec (0)$

Schritt 7.2.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} - 1$

Schritt 7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - 1$

Schritt 7.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - 1$

Schritt 7.3.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} - 1$

Schritt 7.3.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} - 1$

Schritt 7.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - 1$

Schritt 7.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - 1$

Schritt 7.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 1$

Schritt 7.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 1$

Schritt 7.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - 1$

Schritt 7.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - 1$

Schritt 7.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} - 1$

Schritt 7.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1$

Dezimalform:

$0.15470053 \dots$