Analysis Beispiele

$x = \sec (\frac{1}{y})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\sec (\frac{1}{y}))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = \frac{1}{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{y}$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = y$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $y$ mit $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.3.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [y]$ von $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) (- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) (- \frac{y'}{y^{2}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $\sec (\frac{1}{y})$ und $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$\tan (\frac{1}{y}) (- \frac{\sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}})$

Schritt 3.6

Kombiniere $\tan (\frac{1}{y})$ und $\frac{\sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ .

$- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ um.

$- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Dividiere $\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ um.

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} = - 1$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} y^{2} = - y^{2}$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} y^{2} = - y^{2}$

Schritt 5.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$ durch $\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$ durch $\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (\frac{1}{y})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \sec (\frac{1}{y})}{\sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (\frac{1}{y})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sec (\frac{1}{y})}{\sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Schritt 5.5.3.2

Separiere Brüche.

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{1}{\tan (\frac{1}{y})})$

Schritt 5.5.3.3

Schreibe $\tan (\frac{1}{y})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (\frac{1}{y})}{\cos (\frac{1}{y})}})$

Schritt 5.5.3.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (\frac{1}{y})}{\cos (\frac{1}{y})}$ zu dividieren.

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{\cos (\frac{1}{y})}{\sin (\frac{1}{y})})$

Schritt 5.5.3.5

Wandle von $\frac{\cos (\frac{1}{y})}{\sin (\frac{1}{y})}$ nach $\cot (\frac{1}{y})$ um.

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cot (\frac{1}{y}))$

Schritt 5.5.3.6

Separiere Brüche.

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (\frac{1}{y})} \cot (\frac{1}{y}))$

Schritt 5.5.3.7

Schreibe $\sec (\frac{1}{y})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{1}{y})}} \cot (\frac{1}{y}))$

Schritt 5.5.3.8

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (\frac{1}{y})}$ zu dividieren.

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} (1 \cos (\frac{1}{y})) \cot (\frac{1}{y}))$

Schritt 5.5.3.9

Mutltipliziere $\cos (\frac{1}{y})$ mit $1$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y}))$

Schritt 5.5.3.10

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y' = - y^{2} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y})$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y^{2} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y})$