Analysis Beispiele

$y = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$

Schritt 1

Schreibe $y = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$ als Funktion.

$f (x) = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{6}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{6}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$5 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$30 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$30 x^{5} - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.5.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ und $0$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$

Schritt 3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 0.74790241$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 0.74790241) \cup (- 0.74790241, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 3$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 0.74790241)$ in die erste Ableitung $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = 30 {(- 3)}^{5} - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $5$ .

$f' (- 3) = 30 \cdot - 243 - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $30$ mit $- 243$ .

$f' (- 3) = - 7290 - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f' (- 3) = - 7290 - 12 \cdot - 27 + 2$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 27$ .

$f' (- 3) = - 7290 + 324 + 2$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 7290$ und $324$ .

$f' (- 3) = - 6966 + 2$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 6966$ und $2$ .

$f' (- 3) = - 6964$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6964$ .

$- 6964$

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- 0.74790241, \infty)$ in die erste Ableitung $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 30 {(0)}^{5} - 12 {(0)}^{3} + 2$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 30 \cdot 0 - 12 {(0)}^{3} + 2$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $30$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 {(0)}^{3} + 2$

Schritt 6.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 2$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 2$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$f' (0) = 2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 7

Da die erste Ableitung um $x = - 0.74790241$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv wechselt, gibt es einen Wendepunkt in $x = - 0.74790241$ .

Schritt 8

Ermittle die y-Koordinate von $- 0.74790241$ um den Wendepunkt zu finden.

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Schritt 8.1

Ermittle $f (- 0.74790241)$ um die y-Koordinate von $- 0.74790241$ zu finden.

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Schritt 8.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.74790241$ .

$f (- 0.74790241) = 5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Schritt 8.1.2

Vereinfache $5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$ .

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Schritt 8.1.2.1

Entferne die Klammern.

$5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Schritt 8.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.2.2.1

Potenziere $- 0.74790241$ mit $6$ .

$5 \cdot 0.17501272 - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Schritt 8.1.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $0.17501272$ .

$0.8750636 - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Schritt 8.1.2.2.3

Potenziere $- 0.74790241$ mit $4$ .

$0.8750636 - 3 \cdot 0.31288139 + 2 (- 0.74790241) - 9$

Schritt 8.1.2.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.31288139$ .

$0.8750636 - 0.93864419 + 2 (- 0.74790241) - 9$

Schritt 8.1.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.74790241$ .

$0.8750636 - 0.93864419 - 1.49580483 - 9$

Schritt 8.1.2.3

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 8.1.2.3.1

Subtrahiere $0.93864419$ von $0.8750636$ .

$- 0.06358059 - 1.49580483 - 9$

Schritt 8.1.2.3.2

Subtrahiere $1.49580483$ von $- 0.06358059$ .

$- 1.55938542 - 9$

Schritt 8.1.2.3.3

Subtrahiere $9$ von $- 1.55938542$ .

$- 10.55938542$

Schritt 8.2

Schreibe die $x$ und $y$ Koordination in Punktform.

$(- 0.74790241, - 10.55938542)$

Schritt 9