Analysis Beispiele

$y = x^{x}$

Schritt 1

Es gilt $y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (x^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = x \ln (x)$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = x \ln (x)$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere $x \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.2.4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x) \cdot 1$

Schritt 3.2.4.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x)$

Schritt 4

Isoliere $y'$ und ersetze die Originalfunktion für $y$ auf der rechten Seite.

$y' = (1 + \ln (x)) x^{x}$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = 1 x^{x} + \ln (x) x^{x}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x^{x}$ mit $1$ .

$y' = x^{x} + \ln (x) x^{x}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren in $x^{x} + \ln (x) x^{x}$ um.

$y' = x^{x} + x^{x} \ln (x)$