Analysis Beispiele

$y = \cot^{2} (\cos (θ))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = θ^{2}$ und $g (θ) = \cot (\cos (θ))$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cot (\cos (θ))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cot (\cos (θ))$ .

$2 \cot (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \cot (θ)$ und $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (θ)$ .

$2 \cot (\cos (θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cot (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\cos (θ)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (θ)$ .

$2 \cot (\cos (θ)) (- \csc^{2} (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Schritt 3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \cot (\cos (θ)) (\csc^{2} (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$- 2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) (- \sin (θ))$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Stelle die Faktoren von $2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ)$ um.

$2 \csc^{2} (\cos (θ)) \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Schritt 6.2

Schreibe $\csc (\cos (θ))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 {(\frac{1}{\sin (\cos (θ))})}^{2} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Schritt 6.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ an.

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Schritt 6.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{1}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Schritt 6.5

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\sin^{2} (\cos (θ))}$ .

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Schritt 6.6

Schreibe $\cot (\cos (θ))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cdot \frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))} \sin (θ)$

Schritt 6.7

Kombinieren.

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{2} (\cos (θ)) \sin (\cos (θ))} \sin (θ)$

Schritt 6.8

Multipliziere $\sin^{2} (\cos (θ))$ mit $\sin (\cos (θ))$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.8.1

Mutltipliziere $\sin^{2} (\cos (θ))$ mit $\sin (\cos (θ))$ .

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Schritt 6.8.1.1

Potenziere $\sin (\cos (θ))$ mit $1$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{2} (\cos (θ)) \sin^{1} (\cos (θ))} \sin (θ)$

Schritt 6.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{{\sin (\cos (θ))}^{2 + 1}} \sin (θ)$

Schritt 6.8.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{3} (\cos (θ))} \sin (θ)$

Schritt 6.9

Kombiniere $\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{3} (\cos (θ))}$ und $\sin (θ)$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ)) \sin (θ)}{\sin^{3} (\cos (θ))}$

Schritt 6.10

Faktorisiere $\sin (\cos (θ))$ aus $\sin^{3} (\cos (θ))$ heraus.

$\frac{2 \cos (\cos (θ)) \sin (θ)}{\sin (\cos (θ)) \sin^{2} (\cos (θ))}$

Schritt 6.11

Separiere Brüche.

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cdot \frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))}$

Schritt 6.12

Wandle von $\frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))}$ nach $\cot (\cos (θ))$ um.

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

Schritt 6.13

Faktorisiere $\sin (\cos (θ))$ aus $\sin^{2} (\cos (θ))$ heraus.

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin (\cos (θ)) \sin (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

Schritt 6.14

Separiere Brüche.

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

Schritt 6.15

Schreibe $\frac{\sin (θ)}{\sin (\cos (θ))}$ als ein Produkt um.

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

Schritt 6.16

Schreibe $\sin (θ)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

Schritt 6.17

Vereinfache.

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Schritt 6.17.1

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

Schritt 6.17.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ nach $\csc (\cos (θ))$ um.

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

Schritt 6.18

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

Schritt 6.19

Wandle von $\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ nach $\csc (\cos (θ))$ um.

$\frac{2}{1} \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

Schritt 6.20

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

Schritt 6.21

Multipliziere $2 \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ)))$ .

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Schritt 6.21.1

Potenziere $\csc (\cos (θ))$ mit $1$ .

$2 (\csc^{1} (\cos (θ)) \csc (\cos (θ))) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

Schritt 6.21.2

Potenziere $\csc (\cos (θ))$ mit $1$ .

$2 (\csc^{1} (\cos (θ)) \csc^{1} (\cos (θ))) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

Schritt 6.21.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {\csc (\cos (θ))}^{1 + 1} \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

Schritt 6.21.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$