Analysis Beispiele

$y = \sqrt{x + \sqrt{x}}$

Schritt 1

Schreibe die rechte Seite mit rationalen Exponenten neu.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.6.3

Bringe ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 4.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 4.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 4.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.16

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.17

Vereinfache.

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Schritt 4.17.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ um.

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.2

Mutltipliziere $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.17.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.5

Multipliziere $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 4.17.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.17.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{4 x^{\frac{1}{2}} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{4 x^{\frac{1}{2}} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{4 x^{\frac{1}{2}} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$