Analysis Beispiele

$\cos (x y) = 1 + \sin (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (1 + \sin (y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 3.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$0 + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 + \cos (y) y'$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\cos (y) y'$ .

$\cos (y) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ um.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $\cos (y) y'$ um.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = y' \cos (y)$

Schritt 5.3

Subtrahiere $y' \cos (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - y' \cos (y) = 0$

Schritt 5.4

Addiere $y \sin (x y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' \sin (x y) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Schritt 5.5

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' \sin (x y) - y' \cos (y)$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' \sin (x y)$ heraus.

$y' (- x \sin (x y)) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \cos (y)$ heraus.

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y))$ heraus.

$y' (- x \sin (x y) - 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1 \cos (y)$ als $- \cos (y)$ um.

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$

Schritt 5.7

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ durch $- x \sin (x y) - \cos (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ durch $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Schritt 5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

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Schritt 5.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Schritt 5.7.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \sin (x y)$ heraus.

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - \cos (y)}$

Schritt 5.7.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (y)$ heraus.

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - (\cos (y))}$

Schritt 5.7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \sin (x y)) - (\cos (y))$ heraus.

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Schritt 5.7.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.7.3.4.1

Schreibe $- (x \sin (x y) + \cos (y))$ als $- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))$ um.

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Schritt 5.7.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$