Analysis Beispiele

$x^{y} = y^{x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (y^{x})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = x$ und $g = y$ ist.

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren in $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ um.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = y$ und $g = x$ ist.

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + 1 (y^{x} \ln (y))$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $y^{x}$ mit $1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + y^{x} \ln (y)$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Stelle die Terme um.

$y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$

Schritt 3.5.2

Stelle die Faktoren in $y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$ um.

$x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y)$ um.

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren in $- y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$ um.

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren in $y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y)$ um.

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Schritt 5.5

Subtrahiere $x y' y^{x - 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1}$

Schritt 5.6

Addiere $\ln (y) y^{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $y'$ aus $y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1}$ heraus.

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' \ln (x) x^{y}$ heraus.

$y' (\ln (x) x^{y}) - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Schritt 5.7.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' y^{x - 1}$ heraus.

$y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Schritt 5.7.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1})$ heraus.

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Schritt 5.8

Teile jeden Ausdruck in $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ durch $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ und vereinfache.

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Schritt 5.8.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ durch $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Schritt 5.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

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Schritt 5.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Schritt 5.8.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Schritt 5.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.8.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Schritt 5.8.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y x^{y - 1}$ heraus.

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Schritt 5.8.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (y) y^{x}$ heraus.

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Schritt 5.8.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})$ heraus.

$y' = \frac{- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Schritt 5.8.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.8.3.5.1

Schreibe $- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ als $- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ um.

$y' = \frac{- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Schritt 5.8.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$