Analysis Beispiele

$y = e^{- x} \sin (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{- x} \sin (x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 3.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 3.4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 3.4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})$

Schritt 3.4.3.4

Stelle die Terme um.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$