Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} - 10 x^{2} + 24 x}{x^{2} - 6 x}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 24 x}{x^{2} - 6 x}$ nicht definiert ist.

$x = 0, x = 6$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 10 x^{2} + 24 x$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} - 10 x^{2} + 24 x}{x^{2} - 6 x}$

Schritt 6.1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 10 x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + 24 x}{x^{2} - 6 x}$

Schritt 6.1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $24 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + x \cdot 24}{x^{2} - 6 x}$

Schritt 6.1.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 10 x)$ heraus.

$\frac{x (x^{2} - 10 x) + x \cdot 24}{x^{2} - 6 x}$

Schritt 6.1.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 10 x) + x \cdot 24$ heraus.

$\frac{x (x^{2} - 10 x + 24)}{x^{2} - 6 x}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere $x^{2} - 10 x + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1.1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 6, - 4$

Schritt 6.1.1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x ((x - 6) (x - 4))}{x^{2} - 6 x}$

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x^{2} - 6 x}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x \cdot x - 6 x}$

Schritt 6.1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x \cdot x + x \cdot - 6}$

Schritt 6.1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 6$ heraus.

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x (x - 6)}$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x (x - 6)}$

Schritt 6.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{x - 6}$

Schritt 6.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 6$ .

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Schritt 6.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{x - 6}$

Schritt 6.1.2.3.2

Dividiere $x - 4$ durch $1$ .

$x - 4$

Schritt 6.2

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x - 4$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x - 4$

Schritt 8