Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 16}{4 x - 16}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{2} - 16}{4 x - 16}$ nicht definiert ist.

$x = 4$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{4 x - 16}$

Schritt 6.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 x - 16}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 16$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 (x) - 16}$

Schritt 6.1.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 x + 4 \cdot - 4}$

Schritt 6.1.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 (x - 4)}$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 6.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 (x - 4)}$

Schritt 6.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 4}{4}$

Schritt 6.2

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4$

$x$

$4$

Schritt 6.3

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4$ .

			$\frac{x}{4}$
	$4$		$x$	+	$4$

Schritt 6.4

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	+	$4$
	+	$x$

Schritt 6.5

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x$

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	+	$4$
	-	$x$

Schritt 6.6

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	+	$4$
	-	$x$
		$0$

Schritt 6.7

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	+	$4$
	-	$x$
		$0$	+	$4$

Schritt 6.8

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{x}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 6.9

Zerlege die Lösung in den Polynomteil und den Rest.

$\frac{x}{4} + 1$

Schritt 6.10

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = \frac{x}{4}$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = \frac{x}{4}$

Schritt 8