Analysis Beispiele

$y = 5 - x^{2}$ , $[- 3, 2]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$5 - x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse $5 - x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 5$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 5$

Schritt 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $\sqrt{5}$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\sqrt{5}, 0)$

$(- \sqrt{5}, 0)$

$(\sqrt{5}, 0)$

$(- \sqrt{5}, 0)$

Schritt 2

Stelle $5$ und $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + 5$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} 0 d x - \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - x^{2} + 5 d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $- 3$ und $- \sqrt{5}$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} 0 - (- x^{2} + 5) d x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $- x^{2} + 5$ von $0$ .

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - (- x^{2} + 5) d x$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} - 1 \cdot 5 d x$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} - 5 d x$

Schritt 4.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} d x + \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - 5 d x$

Schritt 4.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}} + \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - 5 d x$

Schritt 4.7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}} + - 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$

Schritt 4.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.8.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$ und $- 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$

Schritt 4.8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.8.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x$ bei $- \sqrt{5}$ und $- 3$ .

$(\frac{1}{3} {(- \sqrt{5})}^{3} - 5 (- \sqrt{5})) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.8.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{1}{3} {(- (\sqrt{5}))}^{3} - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2.2

Wende die Produktregel auf $- (\sqrt{5})$ an.

$\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (- {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2.4

Schreibe ${\sqrt{5}}^{3}$ als $\sqrt{5^{3}}$ um.

$\frac{1}{3} (- \sqrt{5^{3}}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2.5

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (- \sqrt{125}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{125}$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2.8

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 27$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{- 27}{3} - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 27$ und $3$ .

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Schritt 4.8.2.2.10.1

Faktorisiere $3$ aus $- 27$ heraus.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.8.2.2.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{- 9}{1} - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2.10.2.4

Dividiere $- 9$ durch $1$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (- 9 - 5 \cdot - 3)$

Schritt 4.8.2.2.11

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (- 9 + 15)$

Schritt 4.8.2.2.12

Addiere $- 9$ und $15$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 6$

Schritt 4.8.2.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Schritt 4.8.3

Vereinfache.

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Schritt 4.8.3.1

Schreibe $125$ als $5^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.8.3.1.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$- \frac{\sqrt{25 (5)}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Schritt 4.8.3.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Schritt 4.8.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Schritt 4.8.3.3

Um $5 \sqrt{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3} - 6$

Schritt 4.8.3.4

Kombiniere $5 \sqrt{5}$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - 6$

Schritt 4.8.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - 6$

Schritt 4.8.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{- 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3} - 6$

Schritt 4.8.3.7

Addiere $- 5 \sqrt{5}$ und $15 \sqrt{5}$ .

$\frac{10 \sqrt{5}}{3} - 6$

Schritt 5

$A r e a = \int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 d x - \int_{- \sqrt{5}}^{2} 0 d x$

Schritt 6

Integriere, um die Fläche zwischen $- \sqrt{5}$ und $2$ zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 - (0) d x$

Schritt 6.2

Subtrahiere $0$ von $- x^{2} + 5$ .

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 d x$

Schritt 6.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Schritt 6.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{- \sqrt{5}}^{2} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Schritt 6.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Schritt 6.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Schritt 6.7

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + 5 x]_{- \sqrt{5}}^{2}$

Schritt 6.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.8.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.8.1.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $- \sqrt{5}$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 x]_{- \sqrt{5}}^{2}$

Schritt 6.8.1.2

Berechne $5 x$ bei $2$ und $- \sqrt{5}$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Schritt 6.8.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.8.1.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Schritt 6.8.1.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{5}$ heraus.

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- (\sqrt{5}))}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Schritt 6.8.1.3.3

Wende die Produktregel auf $- (\sqrt{5})$ an.

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Schritt 6.8.1.3.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- {\sqrt{5}}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Schritt 6.8.1.3.5

Schreibe ${\sqrt{5}}^{3}$ als $\sqrt{5^{3}}$ um.

$- (\frac{8}{3} - \frac{- \sqrt{5^{3}}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Schritt 6.8.1.3.6

Potenziere $5$ mit $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- \sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Schritt 6.8.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Schritt 6.8.1.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Schritt 6.8.1.3.9

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{125}}{3}$ mit $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Schritt 6.8.1.3.10

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 10 - 5 (- \sqrt{5})$

Schritt 6.8.1.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Schritt 6.8.2

Vereinfache.

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Schritt 6.8.2.1

Schreibe $125$ als $5^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.8.2.1.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{25 (5)}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Schritt 6.8.2.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Schritt 6.8.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- (\frac{8}{3} + \frac{5 \sqrt{5}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Schritt 6.8.3

Vereinfache.

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Schritt 6.8.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{8}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 10 + 5 \sqrt{5}$

Schritt 6.8.3.2

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Schritt 6.8.3.3

Kombiniere $10$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Schritt 6.8.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Schritt 6.8.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.3.5.1

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$\frac{- 8 + 30}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Schritt 6.8.3.5.2

Addiere $- 8$ und $30$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Schritt 6.8.3.6

Um $5 \sqrt{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.8.3.7

Kombiniere $5 \sqrt{5}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Schritt 6.8.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{22}{3} + \frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Schritt 6.8.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{22 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Schritt 6.8.3.10

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{22 - 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3}$

Schritt 6.8.3.11

Addiere $- 5 \sqrt{5}$ und $15 \sqrt{5}$ .

$\frac{22 + 10 \sqrt{5}}{3}$

Schritt 7

Addiere die Flächen $\frac{10 \sqrt{5}}{3} - 6 + \frac{22 + 10 \sqrt{5}}{3}$ .

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 6 + \frac{10 \sqrt{5} + 22 + 10 \sqrt{5}}{3}$

Schritt 7.2

Addiere $10 \sqrt{5}$ und $10 \sqrt{5}$ .

$- 6 + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Schritt 7.3

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 6 \cdot \frac{3}{3} + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Schritt 7.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.4.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 6 \cdot 3}{3} + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Schritt 7.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 6 \cdot 3 + 22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{- 18 + 22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Schritt 7.5.2

Addiere $- 18$ und $22$ .

$\frac{4 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Dezimalform:

$16.24045318 \dots$

Schritt 9