Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ ; $[1, 4]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$

Schritt 1.2

Löse $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$4, 8 x^{2}, 1 + y = 0$

Schritt 1.2.1.2

Since $4, 8 x^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 8, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}$ .

Schritt 1.2.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

$1$ Notiere die Primfaktoren jeder Zahl.

Schritt 1.2.1.4

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2 + y = 0$

Schritt 1.2.1.5

Die Primfaktoren von $8$ sind $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 1.2.1.5.1

$8$ hat Faktoren von $2$ und $4$ .

$2 \cdot 4$

Schritt 1.2.1.5.2

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Schritt 1.2.1.6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Not $p r i m e + y = 0$

Schritt 1.2.1.7

Das kgV von $4, 8, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Schritt 1.2.1.8

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 1.2.1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 2 + y = 0$

Schritt 1.2.1.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 + y = 0$

Schritt 1.2.1.9

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

Schritt 1.2.1.10

Das kgV von $x^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x + y = 0$

Schritt 1.2.1.11

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + y = 0$

Schritt 1.2.1.12

Das kgV von $4, 8 x^{2}, 1$ ist der numerische Teil $8$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$8 x^{2} + y = 0$

Schritt 1.2.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ mit $8 x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ mit $8 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} (8 x^{2}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 (2) \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 2 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.2.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x^{4}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2 + 4} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2.1.3.3

Addiere $2$ und $4$ .

$2 x^{6} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.5.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 (x^{2})} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{6} + 1 = 0 (8 x^{2})$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Multipliziere $0 (8 x^{2})$ .

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$2 x^{6} + 1 = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$2 x^{6} + 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{6} = - 1$

Schritt 1.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{6} = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{6} = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{6}$ durch $1$ .

$x^{6} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{6} = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.2.3.4.1

Schreibe $- \frac{1}{2}$ als $i^{6} \frac{1^{6}}{2}$ um.

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Schritt 1.2.3.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{6}$ um.

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.4.1.2

Schreibe $1$ als $1^{6}$ um.

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1^{6}}{2}}$

Schritt 1.2.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1^{6}}{2}}$

Schritt 1.2.3.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.4.4

Schreibe $\sqrt[6]{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$

Schritt 1.2.3.4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$

Schritt 1.2.3.4.6

Kombiniere $i$ und $\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Schritt 1.2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Schritt 1.2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Schritt 1.2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}, - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $\frac{i}{\sqrt[6]{2}}$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $4$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Schritt 3.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} x^{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Schritt 3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Schritt 3.6

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.7.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 3.7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 3.7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

Schritt 3.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Schritt 3.9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Berechne $\frac{1}{5} x^{5}$ bei $4$ und $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Schritt 3.9.2

Berechne $- x^{- 1}$ bei $4$ und $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 4^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 3.9.3

Vereinfache.

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Schritt 3.9.3.1

Potenziere $4$ mit $5$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 3.9.3.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $1024$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 3.9.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 3.9.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 3.9.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1024 - 1}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 3.9.3.6

Subtrahiere $1$ von $1024$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1023}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 3.9.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1023}{5}$ .

$\frac{1023}{4 \cdot 5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 3.9.3.8

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 3.9.3.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Schritt 3.9.3.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1)$

Schritt 3.9.3.11

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Schritt 3.9.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 1 + 4}{4}$

Schritt 3.9.3.13

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 3.9.3.14

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{8 \cdot 4}$

Schritt 3.9.3.15

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{32}$

Schritt 3.9.3.16

Um $\frac{1023}{20}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32}$

Schritt 3.9.3.17

Um $\frac{3}{32}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.9.3.18

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $160$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.9.3.18.1

Mutltipliziere $\frac{1023}{20}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{20 \cdot 8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.9.3.18.2

Mutltipliziere $20$ mit $8$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.9.3.18.3

Mutltipliziere $\frac{3}{32}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{32 \cdot 5}$

Schritt 3.9.3.18.4

Mutltipliziere $32$ mit $5$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{160}$

Schritt 3.9.3.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1023 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{160}$

Schritt 3.9.3.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.3.20.1

Mutltipliziere $1023$ mit $8$ .

$\frac{8184 + 3 \cdot 5}{160}$

Schritt 3.9.3.20.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{8184 + 15}{160}$

Schritt 3.9.3.20.3

Addiere $8184$ und $15$ .

$\frac{8199}{160}$

Schritt 4