Analysis Beispiele

$y = x^{2} - 3$ , $[0, 6]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 1.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 1.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $\sqrt{3}$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{\sqrt{3}} 0 d x - \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} - 3 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $\sqrt{3}$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 0 - (x^{2} - 3) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $x^{2} - 3$ von $0$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - (x^{2} - 3) d x$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} + 3 d x$

Schritt 3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Schritt 3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Schritt 3.8

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Schritt 3.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.9.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.9.1.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $\sqrt{3}$ und $0$ .

$- ((\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Schritt 3.9.1.2

Berechne $3 x$ bei $\sqrt{3}$ und $0$ .

$- (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Schritt 3.9.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.9.1.3.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$- (\frac{\sqrt{3^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Schritt 3.9.1.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Schritt 3.9.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Schritt 3.9.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 3.9.1.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Schritt 3.9.1.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.1.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Schritt 3.9.1.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Schritt 3.9.1.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Schritt 3.9.1.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Schritt 3.9.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} + 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Schritt 3.9.1.3.6

Addiere $\frac{\sqrt{27}}{3}$ und $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Schritt 3.9.1.3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} + 0$

Schritt 3.9.1.3.8

Addiere $3 \sqrt{3}$ und $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Schritt 3.9.2

Vereinfache.

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Schritt 3.9.2.1

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.9.2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Schritt 3.9.2.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Schritt 3.9.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Schritt 3.9.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.9.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Schritt 3.9.2.3.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Schritt 3.9.2.4

Addiere $- \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3}$

Schritt 4

$A r e a = \int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x - \int_{\sqrt{3}}^{6} 0 d x$

Schritt 5

Integriere, um die Fläche zwischen $\sqrt{3}$ und $6$ zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 - (0) d x$

Schritt 5.2

Subtrahiere $0$ von $x^{2} - 3$ .

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x$

Schritt 5.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} d x + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Schritt 5.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Schritt 5.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Schritt 5.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6}$ und $- 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Schritt 5.6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.6.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x$ bei $6$ und $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - 3 \cdot 6) - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.6.2.2.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $216$ .

$\frac{216}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $216$ und $3$ .

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Schritt 5.6.2.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$\frac{3 \cdot 72}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{72}{1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.2.2.3.2.4

Dividiere $72$ durch $1$ .

$72 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.2.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$72 - 18 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.2.2.5

Subtrahiere $18$ von $72$ .

$54 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.2.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.2.2.7

Potenziere $3$ mit $3$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{27} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.2.2.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{27}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{27}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.1

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.6.3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$54 - (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.3.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$54 - (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.3.3.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$54 - (\sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.3.4

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $\sqrt{3}$ .

$54 - (- 2 \sqrt{3})$

Schritt 5.6.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$54 + 2 \sqrt{3}$

Schritt 6

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$54 + 4 \sqrt{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$54 + 4 \sqrt{3}$

Dezimalform:

$60.92820323 \dots$

Schritt 8