Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Stelle die Faktoren in $x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ um.

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $e^{x} x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 1.5.3.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 e^{x} x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

Schritt 1.5.3.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x - 3 e^{x}$ heraus.

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Schritt 1.5.3.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Schritt 1.5.3.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 3 e^{x}$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

Schritt 1.5.3.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} e^{x} (x - 3)$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Schritt 1.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.4.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 1.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 1.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Schritt 2.4.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.6.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.6.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 2.6.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.6.2.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 2.6.2.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}}$

Schritt 2.6.2.2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}}$

Schritt 2.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{8}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}}$

Schritt 2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}}$

Schritt 2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

Schritt 2.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

Schritt 2.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Schritt 2.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.8.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x \cdot x e^{x} + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Schritt 2.8.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Schritt 2.8.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Schritt 2.8.4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Schritt 2.8.4.2

Subtrahiere $3 x e^{x}$ von $x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Schritt 2.8.4.3

Subtrahiere $4 e^{x} x$ von $- 2 x e^{x}$ .

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Schritt 2.8.4.3.1

Bewege $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x e^{x} - 4 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Schritt 2.8.4.3.2

Subtrahiere $4 x e^{x}$ von $- 2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Schritt 2.8.5

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{- 6 e^{x} x + e^{x} x^{2} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Schritt 2.8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 e^{x} x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x) + e^{x} x^{2} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Schritt 2.8.7

Faktorisiere $- 1$ aus $e^{x} x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x) - (- e^{x} x^{2}) + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Schritt 2.8.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (6 e^{x} x) - (- e^{x} x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Schritt 2.8.9

Faktorisiere $- 1$ aus $12 e^{x}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) - (- 12 e^{x})}{x^{5}}$

Schritt 2.8.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) - (- 12 e^{x})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})}{x^{5}}$

Schritt 2.8.11

Schreibe $- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})$ als $- 1 (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})$ um.

$f'' (x) = \frac{- 1 (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})}{x^{5}}$

Schritt 2.8.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x}}{x^{5}}$

Schritt 2.8.13

Stelle die Faktoren in $- \frac{6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x}}{x^{5}}$ um.

$f'' (x) = - \frac{6 x e^{x} - x^{2} e^{x} - 12 e^{x}}{x^{5}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Stelle die Faktoren in $x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ um.

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Schritt 4.1.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.5.3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $e^{x} x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 4.1.5.3.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 e^{x} x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

Schritt 4.1.5.3.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Schritt 4.1.5.3.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x - 3 e^{x}$ heraus.

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Schritt 4.1.5.3.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Schritt 4.1.5.3.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 3 e^{x}$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

Schritt 4.1.5.3.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

Schritt 4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 4.1.5.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} e^{x} (x - 3)$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Schritt 4.1.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.5.4.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 4.1.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 4.1.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$e^{x} (x - 3) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 5.3.2

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 5.3.2.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 5.3.2.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 5.3.2.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5.3.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 3$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{4} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 3$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 3$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{6 (3) e^{3} - {(3)}^{2} e^{3} - 12 e^{3}}{{(3)}^{5}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$- \frac{18 e^{3} - 3^{2} e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Schritt 9.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{18 e^{3} - 1 \cdot 9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- \frac{18 e^{3} - 9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Schritt 9.1.4

Subtrahiere $9 e^{3}$ von $18 e^{3}$ .

$- \frac{9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Schritt 9.1.5

Subtrahiere $12 e^{3}$ von $9 e^{3}$ .

$- \frac{- 3 e^{3}}{3^{5}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.1

Potenziere $3$ mit $5$ .

$- \frac{- 3 e^{3}}{243}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $243$ .

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 e^{3}$ heraus.

$- \frac{3 (- e^{3})}{243}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $243$ heraus.

$- \frac{3 (- e^{3})}{3 (81)}$

Schritt 9.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 (- e^{3})}{3 \cdot 81}$

Schritt 9.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- e^{3}}{81}$

Schritt 9.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{e^{3}}{81}$

Schritt 9.3

Multipliziere $- - \frac{e^{3}}{81}$ .

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{e^{3}}{81}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{e^{3}}{81}$ mit $1$ .

$\frac{e^{3}}{81}$

Schritt 10

$x = 3$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 3$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 3$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{e^{3}}{{(3)}^{3}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{e^{3}}{27}$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{e^{3}}{27}$ .

$y = \frac{e^{3}}{27}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3}}$ .

$(3, \frac{e^{3}}{27})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13