Analysis Beispiele

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 3$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$4 x - x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse $4 x - x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$4 u - u^{2} = 0$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $u$ aus $4 u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $4 u$ heraus.

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Schritt 1.2.1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 4 + u (- u)$ heraus.

$u (4 - u) = 0$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (4 - x) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$4 - x = 0 + y = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $4 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $4 - x$ gleich $0$ .

$4 - x = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $4 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 1.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (4 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(4, 0)$

$(0, 0)$

$(4, 0)$

Schritt 2

Stelle $4 x$ und $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + 4 x$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $3$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x - (0) d x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $0$ von $- x^{2} + 4 x$ .

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x$

Schritt 4.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{3} - x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Schritt 4.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Schritt 4.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Schritt 4.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 \int_{1}^{3} x d x$

Schritt 4.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Schritt 4.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Schritt 4.9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.9.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $3$ und $1$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Schritt 4.9.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $3$ und $1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.9.2.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 4.9.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.2.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.2.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$- (9 - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (9 - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.4

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.5

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.2.3.7.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$- \frac{27 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.7.2

Subtrahiere $1$ von $27$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 4.9.2.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{9 - 1}{2}$

Schritt 4.9.2.3.11

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{8}{2})$

Schritt 4.9.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 4.9.2.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Schritt 4.9.2.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.2.3.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Schritt 4.9.2.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.9.2.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{4}{1})$

Schritt 4.9.2.3.12.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \cdot 4$

Schritt 4.9.2.3.13

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{26}{3} + 16$

Schritt 4.9.2.3.14

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{26}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 4.9.2.3.15

Kombiniere $16$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{26}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.9.2.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 26 + 16 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.9.2.3.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.2.3.17.1

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$\frac{- 26 + 48}{3}$

Schritt 4.9.2.3.17.2

Addiere $- 26$ und $48$ .

$\frac{22}{3}$

Schritt 5