Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} - 4}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} 4^{x} - 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 4^{x} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{4^{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{4^{1} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} - 4}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4^{x} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.5

Addiere $4^{x} \ln (4)$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x + 0}$

Schritt 3.9

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{\ln (4)}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\ln (4)}{2} lim_{x \to 1} \frac{4^{x}}{x}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 4^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{1}}{1}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombinieren.

$\frac{\ln (4) \cdot 4^{1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Berechne den Exponenten.

$\frac{\ln (4) \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\ln (4) \cdot 4}{2}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $\ln (4) \cdot 4$ heraus.

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2}$

Schritt 8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2 (1)}$

Schritt 8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (4) \cdot 2}{1}$

Schritt 8.4.2.4

Dividiere $\ln (4) \cdot 2$ durch $1$ .

$\ln (4) \cdot 2$

Schritt 8.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (4)$ .

$2 \ln (4)$