Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{4}{5}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}$

Schritt 1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Schritt 1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}$

Schritt 1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.7.2

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{4}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ als ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ um.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 1$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{5}}]$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{5}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 5}{5}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 6}{5}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{6}{5}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $x^{- \frac{6}{5}}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $\frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$ .

$- \frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{5 \cdot 5}$

Schritt 2.11

Multipliziere.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$- \frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{25}$

Schritt 2.11.2

Bringe $x^{- \frac{6}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$- \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$