Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x - (3 x^{2})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 x - 3 x^{2}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 4 x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{2} + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 x + 4 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 4$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 6 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 6 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $- 6$ und $0$ .

$f''' (x) = - 6$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 6$ .

$- 6$