Analysis Beispiele

$\frac{6}{x {(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{D x + F}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x {(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$\frac{6 (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x {(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 ({(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.5.2

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 = \frac{A (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 = \frac{A (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.1.2

Dividiere $A ({(x^{2} + 6)}^{2})$ durch $1$ .

$6 = A ({(x^{2} + 6)}^{2}) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.2

Schreibe ${(x^{2} + 6)}^{2}$ als $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6)$ um.

$6 = A ((x^{2} + 6) (x^{2} + 6)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.3

Multipliziere $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 = A (x^{2} (x^{2} + 6) + 6 (x^{2} + 6)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 = A (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6 + 6 (x^{2} + 6)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 = A (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 = A (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.4.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$6 = A (x^{4} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.4.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$6 = A (x^{4} + 6 \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.4.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$6 = A (x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 36) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.4.2

Addiere $6 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$6 = A (x^{4} + 12 x^{2} + 36) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$6 = A x^{4} + A (12 x^{2}) + A \cdot 36 + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + A \cdot 36 + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.6.2

Bringe $36$ auf die linke Seite von $A$ .

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 \cdot A + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

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Schritt 1.6.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.7.2

Dividiere $(B x + C) (x)$ durch $1$ .

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + (B x + C) (x) + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.8

Wende das Distributivgesetz an.

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x \cdot x + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.9

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.9.1

Bewege $x$ .

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x \cdot x) + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x^{2} + 6)}^{2}$ und $x^{2} + 6$ .

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Schritt 1.6.10.1

Faktorisiere $x^{2} + 6$ aus $(D x + F) (x {(x^{2} + 6)}^{2})$ heraus.

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 6) ((D x + F) (x (x^{2} + 6)))}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.6.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.10.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 6) ((D x + F) (x (x^{2} + 6)))}{(x^{2} + 6) \cdot 1}$

Schritt 1.6.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 6) ((D x + F) (x (x^{2} + 6)))}{(x^{2} + 6) \cdot 1}$

Schritt 1.6.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + \frac{(D x + F) (x (x^{2} + 6))}{1}$

Schritt 1.6.10.2.4

Dividiere $(D x + F) (x (x^{2} + 6))$ durch $1$ .

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x (x^{2} + 6))$

Schritt 1.6.11

Wende das Distributivgesetz an.

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x \cdot x^{2} + x \cdot 6)$

Schritt 1.6.12

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.12.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.6.12.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x \cdot x^{2} + x \cdot 6)$

Schritt 1.6.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{1 + 2} + x \cdot 6)$

Schritt 1.6.12.2

Addiere $1$ und $2$ .

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{3} + x \cdot 6)$

Schritt 1.6.13

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{3} + 6 \cdot x)$

Schritt 1.6.14

Multipliziere $(D x + F) (x^{3} + 6 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + D x (x^{3} + 6 x) + F (x^{3} + 6 x)$

Schritt 1.6.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + D x \cdot x^{3} + D x (6 x) + F (x^{3} + 6 x)$

Schritt 1.6.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + D x \cdot x^{3} + D x (6 x) + F x^{3} + F (6 x)$

Schritt 1.6.15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.15.1

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.15.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + D (x^{3} x) + D x (6 x) + F x^{3} + F (6 x)$

Schritt 1.6.15.1.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 1.6.15.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + D (x^{3} x) + D x (6 x) + F x^{3} + F (6 x)$

Schritt 1.6.15.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + D x^{3 + 1} + D x (6 x) + F x^{3} + F (6 x)$

Schritt 1.6.15.1.3

Addiere $3$ und $1$ .

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x (6 x) + F x^{3} + F (6 x)$

Schritt 1.6.15.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + D x^{4} + 6 D x \cdot x + F x^{3} + F (6 x)$

Schritt 1.6.15.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.15.3.1

Bewege $x$ .

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + D x^{4} + 6 D (x \cdot x) + F x^{3} + F (6 x)$

Schritt 1.6.15.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + D x^{4} + 6 D x^{2} + F x^{3} + F (6 x)$

Schritt 1.6.15.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{2} + C x + D x^{4} + 6 D x^{2} + F x^{3} + 6 F x$

Schritt 1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.1

Bewege $A$ .

$6 = A x^{4} + 12 x^{2} A + 36 A + B x^{2} + C x + D x^{4} + 6 D x^{2} + F x^{3} + 6 F x$

Schritt 1.7.2

Stelle $B$ und $x^{2}$ um.

$6 = A x^{4} + 12 x^{2} A + 36 A + B x^{2} + C x + D x^{4} + 6 D x^{2} + F x^{3} + 6 F x$

Schritt 1.7.3

Stelle $F$ und $x^{3}$ um.

$6 = A x^{4} + 12 x^{2} A + 36 A + B x^{2} + C x + D x^{4} + 6 D x^{2} + F x^{3} + 6 F x$

Schritt 1.7.4

Bewege $F$ .

$6 = A x^{4} + 12 x^{2} A + 36 A + B x^{2} + C x + D x^{4} + 6 D x^{2} + F x^{3} + 6 x F$

Schritt 1.7.5

Bewege $36 A$ .

$6 = A x^{4} + 12 x^{2} A + B x^{2} + C x + D x^{4} + 6 D x^{2} + F x^{3} + 6 x F + 36 A$

Schritt 1.7.6

Bewege $C x$ .

$6 = A x^{4} + 12 x^{2} A + B x^{2} + D x^{4} + 6 D x^{2} + F x^{3} + C x + 6 x F + 36 A$

Schritt 1.7.7

Bewege $6 D x^{2}$ .

$6 = A x^{4} + 12 x^{2} A + B x^{2} + D x^{4} + F x^{3} + 6 D x^{2} + C x + 6 x F + 36 A$

Schritt 1.7.8

Bewege $B x^{2}$ .

$6 = A x^{4} + 12 x^{2} A + D x^{4} + F x^{3} + B x^{2} + 6 D x^{2} + C x + 6 x F + 36 A$

Schritt 1.7.9

Bewege $12 x^{2} A$ .

$6 = A x^{4} + D x^{4} + F x^{3} + 12 x^{2} A + B x^{2} + 6 D x^{2} + C x + 6 x F + 36 A$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{4}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + D$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{3}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = F$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = 12 A + B + 6 D$

Schritt 2.4

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C + 6 F$

Schritt 2.5

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$6 = 36 A$

Schritt 2.6

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + D$

$0 = F$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$0 = C + 6 F$

$6 = 36 A$

$0 = A + D$

$0 = F$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$0 = C + 6 F$

$6 = 36 A$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $F = 0$ um.

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$0 = C + 6 F$

$6 = 36 A$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $F$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $F$ in $0 = C + 6 F$ durch $0$ .

$0 = C + 6 (0)$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$6 = 36 A$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $C + 6 (0)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$0 = C + 0$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$6 = 36 A$

Schritt 3.2.2.1.2

Addiere $C$ und $0$ .

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$6 = 36 A$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$6 = 36 A$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$6 = 36 A$

Schritt 3.2.3

Schreibe die Gleichung als $36 A = 6$ um.

$36 A = 6$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $36 A = 6$ durch $36$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $36 A = 6$ durch $36$ .

$\frac{36 A}{36} = \frac{6}{36}$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36 A}{36} = \frac{6}{36}$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{6}{36}$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$A = \frac{6}{36}$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$A = \frac{6}{36}$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

Schritt 3.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $36$ .

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Schritt 3.2.4.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$A = \frac{6 (1)}{36}$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

Schritt 3.2.4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.4.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $36$ heraus.

$A = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 6}$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

Schritt 3.2.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 6}$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

Schritt 3.2.4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \frac{1}{6}$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = C$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $\frac{1}{6}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

$0 = A + D$

$0 = 12 A + B + 6 D$

Schritt 3.3.2

Ersetze alle $A$ in $0 = A + D$ durch $\frac{1}{6}$ .

$0 = (\frac{1}{6}) + D$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

$0 = 12 A + B + 6 D$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Entferne die Klammern.

$0 = \frac{1}{6} + D$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

$0 = 12 A + B + 6 D$

$0 = \frac{1}{6} + D$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

$0 = 12 A + B + 6 D$

Schritt 3.3.4

Ersetze alle $A$ in $0 = 12 A + B + 6 D$ durch $\frac{1}{6}$ .

$0 = 12 (\frac{1}{6}) + B + 6 D$

$0 = \frac{1}{6} + D$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

Schritt 3.3.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.5.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$0 = 6 (2) (\frac{1}{6}) + B + 6 D$

$0 = \frac{1}{6} + D$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

Schritt 3.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 = 6 \cdot (2 (\frac{1}{6})) + B + 6 D$

$0 = \frac{1}{6} + D$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

Schritt 3.3.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$0 = 2 + B + 6 D$

$0 = \frac{1}{6} + D$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

$0 = 2 + B + 6 D$

$0 = \frac{1}{6} + D$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

$0 = 2 + B + 6 D$

$0 = \frac{1}{6} + D$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

$0 = 2 + B + 6 D$

$0 = \frac{1}{6} + D$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

Schritt 3.4

Löse in $0 = \frac{1}{6} + D$ nach $D$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{6} + D = 0$ um.

$\frac{1}{6} + D = 0$

$0 = 2 + B + 6 D$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $\frac{1}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$D = - \frac{1}{6}$

$0 = 2 + B + 6 D$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

$D = - \frac{1}{6}$

$0 = 2 + B + 6 D$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

Schritt 3.5

Ersetze alle Vorkommen von $D$ durch $- \frac{1}{6}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Ersetze alle $D$ in $0 = 2 + B + 6 D$ durch $- \frac{1}{6}$ .

$0 = 2 + B + 6 (- \frac{1}{6})$

$D = - \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $2 + B + 6 (- \frac{1}{6})$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{6}$ in den Zähler.

$0 = 2 + B + 6 (\frac{- 1}{6})$

$D = - \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 = 2 + B + 6 (\frac{- 1}{6})$

$D = - \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

Schritt 3.5.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$0 = 2 + B - 1$

$D = - \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

$0 = 2 + B - 1$

$D = - \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

Schritt 3.5.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$0 = B + 1$

$D = - \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

$0 = B + 1$

$D = - \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

$0 = B + 1$

$D = - \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

$0 = B + 1$

$D = - \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

Schritt 3.6

Löse in $0 = B + 1$ nach $B$ auf.

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $B + 1 = 0$ um.

$B + 1 = 0$

$D = - \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 1$

$D = - \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

$B = - 1$

$D = - \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = \frac{1}{6}$

$F = 0$

Schritt 3.7

Löse das Gleichungssystem.

$B = - 1 D = - \frac{1}{6} C = 0 A = \frac{1}{6} F = 0$

Schritt 3.8

Liste alle Lösungen auf.

$B = - 1, D = - \frac{1}{6}, C = 0, A = \frac{1}{6}, F = 0$

Schritt 4

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{D x + F}{x^{2} + 6}$ with the values found for $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , and $F$ .

$\frac{\frac{1}{6}}{x} + \frac{- 1 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{- \frac{1}{6 x} + 0}{x^{2} + 6}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{\frac{1}{6}}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(- \frac{1}{6}) \cdot x + 0}{x^{2} + 6}$

Schritt 5.2

Addiere $(- 1) \cdot x$ und $0$ .

$\frac{\frac{1}{6}}{x} + \frac{(- 1) \cdot x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(- \frac{1}{6}) \cdot x + 0}{x^{2} + 6}$

Schritt 5.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{\frac{1}{6}}{x} + \frac{- x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(- \frac{1}{6}) \cdot x + 0}{x^{2} + 6}$

Schritt 5.4

Addiere $(- \frac{1}{6}) \cdot x$ und $0$ .

$\frac{\frac{1}{6}}{x} + \frac{- x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(- \frac{1}{6}) \cdot x}{x^{2} + 6}$

Schritt 5.5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\frac{1}{6}}{x} + \frac{- x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{- \frac{x}{6}}{x^{2} + 6}$