Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 4}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 4$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 4] - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 5 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{x (6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{x (6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.8

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (6 x + 5 + 0) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.9

Addiere $6 x + 5$ und $0$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4)}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (6 x) + x \cdot 5 - (3 x^{2} + 5 x - 4)}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (6 x) + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 x \cdot x + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 x^{2} + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 \cdot x - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x - - 4}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x^{2} + 0 + 4}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.2.2

Addiere $6 x^{2} - 3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $6 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} (6 x + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (6 x + 0) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.7

Addiere $6 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} (6 x) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{6 \cdot x^{3} - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{6 x^{3} - (3 x^{2} + 4) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{3} + (- 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 4) x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{2}) x - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.7.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x^{3} - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x^{3} - 8 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3.2

Subtrahiere $6 x^{3}$ von $6 x^{3}$ .

$\frac{0 - 8 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3.3

Subtrahiere $8 x$ von $0$ .

$\frac{- 8 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.7.4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{x \cdot - 8}{x^{4}}$

Schritt 2.7.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.4.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.7.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.7.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 8}{x^{3}}$

Schritt 2.7.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{8}{x^{3}}$ .

$- \frac{8}{x^{3}}$