Analysis Beispiele

$f (x) = {(x^{2} + 7)}^{7}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 7$ .

$7 {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$7 {(x^{2} + 7)}^{6} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 1.2.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x + 0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x)$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$14 {(x^{2} + 7)}^{6} x$

Schritt 1.2.4.3

Stelle die Faktoren von $14 {(x^{2} + 7)}^{6} x$ um.

$f' (x) = 14 x {(x^{2} + 7)}^{6}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x {(x^{2} + 7)}^{6}$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{6}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{6}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{6}$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{6}] + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 7$ .

$14 (x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$14 (x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 7$ .

$14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$14 (x (12 {(x^{2} + 7)}^{5} x) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$14 (x^{1} x (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$14 (x^{1} x^{1} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$14 (x^{1 + 1} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \cdot 1)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere ${(x^{2} + 7)}^{6}$ mit $1$ .

$14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6})$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5})) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $12$ mit $14$ .

$168 (x^{2} ({(x^{2} + 7)}^{5})) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Schritt 2.11.3

Faktorisiere $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ aus $168 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{5} + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$ heraus.

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Schritt 2.11.3.1

Faktorisiere $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ aus $168 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{5}$ heraus.

$14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Schritt 2.11.3.2

Faktorisiere $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ aus $14 {(x^{2} + 7)}^{6}$ heraus.

$14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (x^{2} + 7)$

Schritt 2.11.3.3

Faktorisiere $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ aus $14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (x^{2} + 7)$ heraus.

$14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2} + x^{2} + 7)$

Schritt 2.11.4

Addiere $12 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$ .

$14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$