Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x} + \sqrt[5]{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} + \sqrt[5]{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sqrt{x}) + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}$

Schritt 1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}$

Schritt 1.3.6.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}$

Schritt 1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}$

Schritt 1.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 1.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.13.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.13.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.13.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.13.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.13.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.13.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.14

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ als ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1})$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{4}{5}}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}}))$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}})$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- {(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- {(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{\frac{4}{5} \cdot - 2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2

Multipliziere $\frac{4}{5} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{\frac{4 \cdot - 2}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{\frac{- 8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Schritt 2.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Schritt 2.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Schritt 2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Schritt 2.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}))$

Schritt 2.3.9.2

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}))$

Schritt 2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}))$

Schritt 2.3.11

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5})$

Schritt 2.3.12

Kombiniere $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ und $x^{- \frac{8}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{- \frac{1}{5}} x^{- \frac{8}{5}}}{5})$

Schritt 2.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{5}}$ mit $x^{- \frac{8}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.13.1

Bewege $x^{- \frac{8}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 (x^{- \frac{8}{5}} x^{- \frac{1}{5}})}{5})$

Schritt 2.3.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{- \frac{8}{5} - \frac{1}{5}}}{5})$

Schritt 2.3.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{\frac{- 8 - 1}{5}}}{5})$

Schritt 2.3.13.4

Subtrahiere $1$ von $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{\frac{- 9}{5}}}{5})$

Schritt 2.3.13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{- \frac{9}{5}}}{5})$

Schritt 2.3.14

Bringe $x^{- \frac{9}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5 x^{\frac{9}{5}}})$

Schritt 2.3.15

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{4}{5 x^{\frac{9}{5}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{5 (5 x^{\frac{9}{5}})}$

Schritt 2.3.16

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$