Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 3$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - (x - 3) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - (x - 3)}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - x - - 3}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - - 3}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Subtrahiere $- 3$ von $0$ .

$\frac{- - 3}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f' (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$3 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 6 x^{- 3}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 6}{x^{3}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{6}{x^{3}}$ .

$- \frac{6}{x^{3}}$