Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 + 8 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 + 8 x$ .

$f' (x) = \frac{(3 + 8 x) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (3 + 8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(3 + 8 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (3 + 8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 + 8 x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((3 + 8 x) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (3 + 8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + 8 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (8 x))}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (8 x))}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} (8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} (8 \frac{d}{d x} (x))}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - 8 x^{2} \frac{d}{d x} x}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - 8 x^{2} \cdot 1}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 3 + 2 (8 x)) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x) + 2 (8 x) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 (8 x) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 (8 (x \cdot x)) - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 (8 x^{2}) - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 16 x^{2} - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $16 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{8 x^{2} + 6 x}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 x (4 x) + 6 x}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.2

Faktorisiere $2 x$ aus $6 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 x (4 x) + 2 x (3)}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (4 x) + 2 x (3)$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}})$

Schritt 2.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (4 x + 3)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{({(8 x + 3)}^{2})}^{2}})$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 x + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (4 x + 3)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{2 \cdot 2}})$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (4 x + 3)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 4 x + 3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x \frac{d}{d x} (4 x + 3) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.5.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.5.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.5.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (4 \cdot x + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.5.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (4 x + (4 x + 3) \cdot 1) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.5.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.5.8.1

Mutltipliziere $4 x + 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (4 x + 4 x + 3) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.5.8.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (8 x + 3) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.6

Multipliziere ${(8 x + 3)}^{2}$ mit $8 x + 3$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere ${(8 x + 3)}^{2}$ mit $8 x + 3$ .

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $8 x + 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (8 x + 3) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2 + 1} - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.6.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 8 x + 3$ .

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Schritt 2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x + 3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) (2 u \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.7.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x + 3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) (2 (8 x + 3) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.8.2

Faktorisiere $8 x + 3$ aus ${(8 x + 3)}^{3} - 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} [8 x + 3])$ heraus.

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Schritt 2.8.2.1

Faktorisiere $8 x + 3$ aus ${(8 x + 3)}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.8.2.2

Faktorisiere $8 x + 3$ aus $- 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} [8 x + 3])$ heraus.

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{2} + (8 x + 3) (- 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.8.2.3

Faktorisiere $8 x + 3$ aus $(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{2} + (8 x + 3) (- 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [8 x + 3]))$ heraus.

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) ({(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Schritt 2.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere $8 x + 3$ aus ${(8 x + 3)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) ({(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{3}})$

Schritt 2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) ({(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{3}})$

Schritt 2.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Schritt 2.11

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Schritt 2.14

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 + 0)}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Schritt 2.15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.15.1

Addiere $8$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Schritt 2.15.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Schritt 2.15.3

Kombiniere $2$ und $\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16

Vereinfache.

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Schritt 2.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 ({(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 {(8 x + 3)}^{2} + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.16.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.16.3.1.1

Schreibe ${(8 x + 3)}^{2}$ als $(8 x + 3) (8 x + 3)$ um.

$f'' (x) = \frac{2 ((8 x + 3) (8 x + 3)) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.2

Multipliziere $(8 x + 3) (8 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.16.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (8 x (8 x + 3) + 3 (8 x + 3)) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x + 3)) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.16.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.16.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{2 (8 \cdot (8 x \cdot x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.16.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (8 \cdot (8 (x \cdot x)) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (8 \cdot (8 x^{2}) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 9) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.3.2

Addiere $24 x$ und $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 48 x + 9) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2}) + 2 (48 x) + 2 \cdot 9 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.16.3.1.5.1

Mutltipliziere $64$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 2 (48 x) + 2 \cdot 9 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.5.2

Mutltipliziere $48$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 2 \cdot 9 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.16.3.1.6.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 16 (x \cdot x) \cdot 4) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 16 x^{2} \cdot 4) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 64 x^{2}) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.8

Mutltipliziere $- 64$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} + 2 (- 48 x)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.1.10

Mutltipliziere $- 48$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} - 96 x}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} - 96 x$ .

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Schritt 2.16.3.2.1

Subtrahiere $128 x^{2}$ von $128 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{96 x + 18 + 0 - 96 x}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.2.2

Addiere $96 x + 18$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{96 x + 18 - 96 x}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.2.3

Subtrahiere $96 x$ von $96 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 18}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 2.16.3.2.4

Addiere $0$ und $18$ .

$f'' (x) = \frac{18}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{18}{{(8 x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{18}{{(8 x + 3)}^{3}}$