Analysis Beispiele

$\frac{6}{x^{2} - 16}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{6}{x^{2} - 16}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{6}{x^{2} - 16}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{x^{2} - 16}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 16})$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - 16}$ als ${(x^{2} - 16)}^{- 1}$ um.

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 16)}^{- 1})$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 6 (- {(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f' (x) = - 6 ({(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Schritt 2.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))$

Schritt 2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))$

Schritt 2.1.3.4

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 2.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f' (x) = - 12 {(x^{2} - 16)}^{- 2} x$

Schritt 2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 12 \frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Schritt 2.1.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.5.1

Kombiniere $- 12$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Schritt 2.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Schritt 2.1.5.3

Kombiniere $x$ und $\frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 2.1.5.4

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$12 x = 0$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 0$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 0$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $12$ .

$x = 0$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x^{2} - 16)}^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

${(x^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Schritt 5.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

${((x + 4) (x - 4))}^{2} = 0$

Schritt 5.2.1.3

Wende die Produktregel auf $(x + 4) (x - 4)$ an.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 5.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 5.2.3

Setze ${(x + 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.3.1

Setze ${(x + 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 5.2.3.2

Löse ${(x + 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.3.2.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 5.2.3.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 5.2.4

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.4.1

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 5.2.4.2

Löse ${(x - 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.4.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 4, 4$

Schritt 5.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 4, x = 4$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{12 (- 5)}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{(25 - 16)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{9^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{81}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 60$ und $81$ .

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Schritt 7.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 60$ heraus.

$f' (- 5) = - \frac{3 (- 20)}{81}$

Schritt 7.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

Schritt 7.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 5) = - \frac{- 20}{27}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 5) = \frac{20}{27}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{20}{27}$ .

$\frac{20}{27}$

Schritt 7.3

Bei $x = - 5$ ist die Ableitung $\frac{20}{27}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 4)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 4, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{12 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(4 - 16)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(- 12)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{144}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $144$ .

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Schritt 8.2.3.1.1

Faktorisiere $24$ aus $- 24$ heraus.

$f' (- 2) = - \frac{24 (- 1)}{144}$

Schritt 8.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.1.2.1

Faktorisiere $24$ aus $144$ heraus.

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

Schritt 8.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

Schritt 8.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{6}$

Schritt 8.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = \frac{1}{6}$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 8.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $\frac{1}{6}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 4, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 4, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - \frac{12 (2)}{{({(2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(2^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(4 - 16)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(- 12)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{144}$

Schritt 9.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $144$ .

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Schritt 9.2.3.1

Faktorisiere $24$ aus $24$ heraus.

$f' (2) = - \frac{24 (1)}{144}$

Schritt 9.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.2.1

Faktorisiere $24$ aus $144$ heraus.

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

Schritt 9.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

Schritt 9.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (2) = - \frac{1}{6}$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Schritt 9.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $- \frac{1}{6}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 4)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 4)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = - \frac{12 (5)}{{({(5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $5$ .

$f' (5) = - \frac{60}{{(5^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (5) = - \frac{60}{{(25 - 16)}^{2}}$

Schritt 10.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $25$ .

$f' (5) = - \frac{60}{9^{2}}$

Schritt 10.2.2.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f' (5) = - \frac{60}{81}$

Schritt 10.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $60$ und $81$ .

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Schritt 10.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $60$ heraus.

$f' (5) = - \frac{3 (20)}{81}$

Schritt 10.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

Schritt 10.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

Schritt 10.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (5) = - \frac{20}{27}$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{20}{27}$ .

$- \frac{20}{27}$

Schritt 10.3

Bei $x = 5$ ist die Ableitung $- \frac{20}{27}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(4, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(4, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 4), (- 4, 0)$

Abfallend im Intervall: $(0, 4), (4, \infty)$

Schritt 12