Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schreibe als Funktion.
Schritt 2
Schritt 2.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 2.1.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.1.2
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.
Schritt 2.1.3.1
Multipliziere die Exponenten in .
Schritt 2.1.3.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.1.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.4
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 2.1.4.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.1.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.1.4.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.1.5
Vereinfache durch Herausfaktorisieren.
Schritt 2.1.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.5.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.5.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.5.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.6
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 2.1.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.6.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.1.6.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.1.7
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.1.8
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.1.9
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.1.10
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 2.1.10.1
Addiere und .
Schritt 2.1.10.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.11
Potenziere mit .
Schritt 2.1.12
Potenziere mit .
Schritt 2.1.13
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.1.14
Addiere und .
Schritt 2.1.15
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.16
Kombiniere und .
Schritt 2.1.17
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.1.18
Vereinfache.
Schritt 2.1.18.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.1.18.2
Vereinfache jeden Term.
Schritt 2.1.18.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.18.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.18.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.18.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.18.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.18.3.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.18.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.18.5
Schreibe als um.
Schritt 2.1.18.6
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.18.7
Schreibe als um.
Schritt 2.1.18.8
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.1.18.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.18.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 3
Schritt 3.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 3.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 3.3
Löse die Gleichung nach auf.
Schritt 3.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 3.3.1.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.3.1.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 3.3.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 3.3.1.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.1.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.3.1.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 3.3.1.3.1
Dividiere durch .
Schritt 3.3.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.3.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 3.3.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.3.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 3.3.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 3.3.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.3.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 3.3.5
Vereinfache .
Schritt 3.3.5.1
Schreibe als um.
Schritt 3.3.5.2
Jede Wurzel von ist .
Schritt 3.3.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.5.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 3.3.5.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.5.4.2
Potenziere mit .
Schritt 3.3.5.4.3
Potenziere mit .
Schritt 3.3.5.4.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 3.3.5.4.5
Addiere und .
Schritt 3.3.5.4.6
Schreibe als um.
Schritt 3.3.5.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 3.3.5.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.3.5.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 3.3.5.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 3.3.5.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.5.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.5.4.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 3.3.6
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 3.3.6.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 3.3.6.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 3.3.6.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 4
Die Werte, die die Ableitung gleich machen, sind .
Schritt 5
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum, sodass die Ableitung gleich oder nicht definiert ist.
Schritt 6
Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 6.2.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 6.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.2
Vereinfache den Nenner.
Schritt 6.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.2.2
Addiere und .
Schritt 6.2.2.3
Potenziere mit .
Schritt 6.2.3
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 6.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.3.2
Dividiere durch .
Schritt 6.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Bei ist die Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall an.
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 7
Schritt 7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 7.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 7.2.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 7.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 7.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 7.2.2
Vereinfache den Nenner.
Schritt 7.2.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 7.2.2.2
Addiere und .
Schritt 7.2.2.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 7.2.3
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 7.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.3.2
Dividiere durch .
Schritt 7.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 7.3
Bei ist die Ableitung . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall ab.
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 8
Schritt 8.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 8.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 8.2.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 8.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 8.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 8.2.2
Vereinfache den Nenner.
Schritt 8.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 8.2.2.2
Addiere und .
Schritt 8.2.2.3
Potenziere mit .
Schritt 8.2.3
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 8.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.3.2
Dividiere durch .
Schritt 8.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 8.3
Bei ist die Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall an.
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 9
Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.
Ansteigend im Intervall:
Abfallend im Intervall:
Schritt 10