Analysis Beispiele

$(1 - x) e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $(1 - x) e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = (1 - x) e^{x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 - x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(1 - x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 - x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 - x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 - x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 - x) e^{x} + e^{x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 - x) e^{x} + e^{x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 2.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 - x) e^{x} + e^{x} \cdot - 1$

Schritt 2.1.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$(1 - x) e^{x} - 1 \cdot e^{x}$

Schritt 2.1.3.6.3

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$(1 - x) e^{x} - e^{x}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 e^{x} - x e^{x} - e^{x}$

Schritt 2.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.4.2.1

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$e^{x} - x e^{x} - e^{x}$

Schritt 2.1.4.2.2

Subtrahiere $e^{x}$ von $e^{x}$ .

$- x e^{x} + 0$

Schritt 2.1.4.2.3

Addiere $- x e^{x}$ und $0$ .

$- x e^{x}$

Schritt 2.1.4.3

Stelle die Faktoren von $- x e^{x}$ um.

$- e^{x} x$

Schritt 2.1.4.4

Stelle die Faktoren in $- e^{x} x$ um.

$f' (x) = - x e^{x}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- x e^{x}$ .

$- x e^{x}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- x e^{x} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- x e^{x} = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Schritt 3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 3.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x e^{x} = 0$ wahr machen.

$x = 0$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - x e^{x}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = (1 - x) e^{x}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 \cdot e^{- 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $e^{- 1}$ mit $1$ .

$f' (- 1) = e^{- 1}$

Schritt 6.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $\frac{1}{e}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot e^{1}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache.

$f' (1) = - 1 \cdot e$

Schritt 7.2.2

Schreibe $- 1 e$ als $- e$ um.

$f' (1) = - e$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- e$ .

$- e$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- e$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall: $(0, \infty)$

Schritt 9