Analysis Beispiele

$(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

Schritt 1

Schreibe $(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$ als Funktion.

$f (x) = (x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 9$ und $g (x) = x^{2} - 18 x - 162$ .

$f' (x) = (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 18 x - 162) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 18 x - 162$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [- 162]$ .

$f' (x) = (x - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Schritt 2.1.2.3

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18 x$ nach $x$ gleich $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Schritt 2.1.2.5

Mutltipliziere $- 18$ mit $1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Schritt 2.1.2.6

Da $- 162$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 162$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Schritt 2.1.2.7

Addiere $2 x - 18$ und $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Schritt 2.1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Schritt 2.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))$

Schritt 2.1.2.10

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + 0)$

Schritt 2.1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \cdot 1$

Schritt 2.1.2.11.2

Mutltipliziere $x^{2} - 18 x - 162$ mit $1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + x^{2} - 18 x - 162$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (x - 9) (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Schritt 2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Schritt 2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Schritt 2.1.3.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.3.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Schritt 2.1.3.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Schritt 2.1.3.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Schritt 2.1.3.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Schritt 2.1.3.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Schritt 2.1.3.4.6

Bringe $- 18$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 \cdot x - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Schritt 2.1.3.4.7

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 18$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

Schritt 2.1.3.4.8

Subtrahiere $18 x$ von $- 18 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 36 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

Schritt 2.1.3.4.9

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 162 - 18 x - 162$

Schritt 2.1.3.4.10

Subtrahiere $18 x$ von $- 36 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 162 - 162$

Schritt 2.1.3.4.11

Subtrahiere $162$ von $162$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 0$

Schritt 2.1.3.4.12

Addiere $3 x^{2} - 54 x$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 54 x$ .

$3 x^{2} - 54 x$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 54 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 54 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2} - 54 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 x (x) - 54 x = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 54 x$ heraus.

$3 x (x) + 3 x (- 18) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x) + 3 x (- 18)$ heraus.

$3 x (x - 18) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 18 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 18$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 18$ gleich $0$ .

$x - 18 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 18$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 x (x - 18) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 18$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, 18$ .

$0, 18$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 18) \cup (18, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 54 \cdot - 1$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 - 54 \cdot - 1$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (- 1) = 3 - 54 \cdot - 1$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 54$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 + 54$

Schritt 6.2.2

Addiere $3$ und $54$ .

$f' (- 1) = 57$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $57$ .

$57$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $57$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 18)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f' (9) = 3 {(9)}^{2} - 54 \cdot 9$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f' (9) = 3 \cdot 81 - 54 \cdot 9$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$f' (9) = 243 - 54 \cdot 9$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 54$ mit $9$ .

$f' (9) = 243 - 486$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $486$ von $243$ .

$f' (9) = - 243$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 243$ .

$- 243$

Schritt 7.3

Bei $x = 9$ ist die Ableitung $- 243$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 18)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 18)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(18, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $19$ .

$f' (19) = 3 {(19)}^{2} - 54 \cdot 19$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $19$ mit $2$ .

$f' (19) = 3 \cdot 361 - 54 \cdot 19$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $361$ .

$f' (19) = 1083 - 54 \cdot 19$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 54$ mit $19$ .

$f' (19) = 1083 - 1026$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $1026$ von $1083$ .

$f' (19) = 57$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $57$ .

$57$

Schritt 8.3

Bei $x = 19$ ist die Ableitung $57$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(18, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(18, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 0), (18, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(0, 18)$

Schritt 10