Analysis Beispiele

$\frac{x - 3}{x + 4}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x - 3}{x + 4}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 4}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 3$ und $g (x) = x + 4$ .

$\frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 4) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Mutltipliziere $x + 4$ mit $1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3)}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 4 - x - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 4 - x - - 3$ .

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Schritt 2.1.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 + 4 - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2.1.2

Addiere $0$ und $4$ .

$\frac{4 - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{4 + 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2.3

Addiere $4$ und $3$ .

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$7 = 0$

Schritt 3.3

Da $7 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 6

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{x - 3}{x + 4}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ .

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{{((- 5) + 4)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Addiere $- 5$ und $4$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $7$ durch $1$ .

$f' (- 5) = 7$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$7$

Schritt 7.3

Bei $x = - 5$ ist die Ableitung $7$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 4)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 4, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{7}{{((- 3) + 4)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1.1

Addiere $- 3$ und $4$ .

$f' (- 3) = \frac{7}{1^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- 3) = \frac{7}{1}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $7$ durch $1$ .

$f' (- 3) = 7$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$7$

Schritt 8.3

Bei $x = - 3$ ist die Ableitung $7$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 4, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 4, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 4), (- 4, \infty)$

Schritt 10