Analysis Beispiele

$\frac{x + 6}{x - 6}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x + 6}{x - 6}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x + 6}{x - 6}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 6$ und $g (x) = x - 6$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) (1 + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Mutltipliziere $x - 6$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 6))}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x - 6 - x - 1 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6 - x - 1 \cdot 6$ .

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Schritt 2.1.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = \frac{0 - 6 - 1 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2.1.2

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$f' (x) = \frac{- 6 - 1 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f' (x) = \frac{- 6 - 6}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2.3

Subtrahiere $6$ von $- 6$ .

$f' (x) = \frac{- 12}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$ .

$- \frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{12}{{(x - 6)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{12}{{(x - 6)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$12 = 0$

Schritt 3.3

Da $12 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 6

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{x + 6}{x - 6}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$ .

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 6)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = - \frac{12}{{((5) - 6)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$f' (5) = - \frac{12}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (5) = - \frac{12}{1}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.1

Dividiere $12$ durch $1$ .

$f' (5) = - 1 \cdot 12$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$f' (5) = - 12$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 7.3

Bei $x = 5$ ist die Ableitung $- 12$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 6)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 6)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(6, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = - \frac{12}{{((7) - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1.1

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$f' (7) = - \frac{12}{1^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (7) = - \frac{12}{1}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.2.1

Dividiere $12$ durch $1$ .

$f' (7) = - 1 \cdot 12$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$f' (7) = - 12$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 8.3

Bei $x = 7$ ist die Ableitung $- 12$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(6, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(6, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 6), (6, \infty)$

Schritt 10