Analysis Beispiele

$x + \frac{6}{x}$

Schritt 1

Schreibe $x + \frac{6}{x}$ als Funktion.

$f (x) = x + \frac{6}{x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{6}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{x})$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{6}{x})$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{x}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 1 + 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 2.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = 1 + 6 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 6 (- x^{- 2})$

Schritt 2.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f' (x) = 1 - 6 x^{- 2}$

Schritt 2.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 6 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.4.1.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 6}{x^{2}}$

Schritt 2.1.4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 - \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 2.1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{6}{x^{2}} + 1$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{6}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{6}{x^{2}} + 1$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{6}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{6}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{6}{x^{2}} = - 1$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 3.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{6}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{6}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ .

$- \frac{6}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 6}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 6 = - x^{2}$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{2} = - 6$ um.

$- x^{2} = - 6$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 6$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Dividiere $- 6$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 6$

Schritt 3.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

Schritt 3.5.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{6}$

Schritt 3.5.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{6}$

Schritt 3.5.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\sqrt{6}, - \sqrt{6}$ .

$\sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{6}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \sqrt{6})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.4494898$ .

$f' (- 3.4494898) = - \frac{6}{{(- 3.4494898)}^{2}} + 1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 3.4494898$ mit $2$ .

$f' (- 3.4494898) = - \frac{6}{11.89897988} + 1$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $6$ durch $11.89897988$ .

$f' (- 3.4494898) = - 1 \cdot 0.5042449 + 1$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.5042449$ .

$f' (- 3.4494898) = - 0.5042449 + 1$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 0.5042449$ und $1$ .

$f' (- 3.4494898) = 0.49575509$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.49575509$ .

$0.49575509$

Schritt 7.3

Bei $x = - 3.4494898$ ist die Ableitung $0.49575509$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \sqrt{6})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \sqrt{6})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2.4494898, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.2247449$ .

$f' (- 1.2247449) = - \frac{6}{{(- 1.2247449)}^{2}} + 1$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $- 1.2247449$ mit $2$ .

$f' (- 1.2247449) = - \frac{6}{1.50000007} + 1$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $6$ durch $1.50000007$ .

$f' (- 1.2247449) = - 1 \cdot 3.99999981 + 1$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3.99999981$ .

$f' (- 1.2247449) = - 3.99999981 + 1$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 3.99999981$ und $1$ .

$f' (- 1.2247449) = - 2.99999981$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2.99999981$ .

$- 2.99999981$

Schritt 8.3

Bei $x = - 1.2247449$ ist die Ableitung $- 2.99999981$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 2.4494898, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \sqrt{6}, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \sqrt{6})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.2247449$ .

$f' (1.2247449) = - \frac{6}{{(1.2247449)}^{2}} + 1$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $1.2247449$ mit $2$ .

$f' (1.2247449) = - \frac{6}{1.50000007} + 1$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $6$ durch $1.50000007$ .

$f' (1.2247449) = - 1 \cdot 3.99999981 + 1$

Schritt 9.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3.99999981$ .

$f' (1.2247449) = - 3.99999981 + 1$

Schritt 9.2.2

Addiere $- 3.99999981$ und $1$ .

$f' (1.2247449) = - 2.99999981$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2.99999981$ .

$- 2.99999981$

Schritt 9.3

Bei $x = 1.2247449$ ist die Ableitung $- 2.99999981$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \sqrt{6})$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \sqrt{6})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\sqrt{6}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.4494898$ .

$f' (3.4494898) = - \frac{6}{{(3.4494898)}^{2}} + 1$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Potenziere $3.4494898$ mit $2$ .

$f' (3.4494898) = - \frac{6}{11.89897988} + 1$

Schritt 10.2.1.2

Dividiere $6$ durch $11.89897988$ .

$f' (3.4494898) = - 1 \cdot 0.5042449 + 1$

Schritt 10.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.5042449$ .

$f' (3.4494898) = - 0.5042449 + 1$

Schritt 10.2.2

Addiere $- 0.5042449$ und $1$ .

$f' (3.4494898) = 0.49575509$

Schritt 10.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.49575509$ .

$0.49575509$

Schritt 10.3

Bei $x = 3.4494898$ ist die Ableitung $0.49575509$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\sqrt{6}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\sqrt{6}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - \sqrt{6}), (\sqrt{6}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \sqrt{6}, 0), (0, \sqrt{6})$

Schritt 12