Analysis Beispiele

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Schritt 1

Schreibe $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ als Funktion.

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 12$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48 x^{2}$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $48$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 64 x$ nach $x$ gleich $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} x$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 36 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $96 x$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $- 64$ heraus.

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ heraus.

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Schritt 3.2.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ heraus.

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Schritt 3.2.1.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ heraus.

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 3.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Schritt 3.2.2.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.2.2.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 3.2.2.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 3.2.2.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 3.2.2.3.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 3.2.2.3.5

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 3.2.2.3.6

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Schritt 3.2.2.3.7

Addiere $- 8$ und $24$ .

$16 - 16$

Schritt 3.2.2.3.8

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$0$

Schritt 3.2.2.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Schritt 3.2.2.5

Dividiere $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ durch $x - 1$ .

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Schritt 3.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Schritt 3.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Schritt 3.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 3.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 3.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Schritt 3.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 3.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 3.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 3.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 3.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Schritt 3.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Schritt 3.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Schritt 3.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Schritt 3.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 x - 16$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Schritt 3.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Schritt 3.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 3.2.2.6

Schreibe $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ als eine Menge von Faktoren.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.3.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Schritt 3.2.3.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 3.2.3.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Schritt 3.2.3.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 3.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.5

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 3.5.2

Löse ${(x - 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 1, 4$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $1, 4$ .

$1, 4$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Schritt 6.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 36$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $96$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 - 64$

Schritt 6.2.2.3

Subtrahiere $64$ von $0$ .

$f' (0) = - 64$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 64$ .

$- 64$

Schritt 6.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $- 64$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 {(\frac{5}{2})}^{3} - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{5^{3}}{2^{3}}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{2^{3}}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{8}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{4 (2)}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{4 \cdot 2}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2.1.6

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 \frac{25}{2^{2}} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 (\frac{25}{4}) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $- 36$ heraus.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + 4 (- 9) (\frac{25}{4}) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + 4 \cdot (- 9 (\frac{25}{4})) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 9 \cdot 25 + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2.1.9

Mutltipliziere $- 9$ mit $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $96$ heraus.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 2 (48) (\frac{5}{2}) - 64$

Schritt 7.2.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 2 \cdot (48 (\frac{5}{2})) - 64$

Schritt 7.2.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 48 \cdot 5 - 64$

Schritt 7.2.1.11

Mutltipliziere $48$ mit $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 240 - 64$

Schritt 7.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $- 225$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225}{1} + 240 - 64$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 225}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225}{1} \cdot \frac{2}{2} + 240 - 64$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 225}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + 240 - 64$

Schritt 7.2.2.4

Schreibe $240$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240}{1} - 64$

Schritt 7.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{240}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240}{1} \cdot \frac{2}{2} - 64$

Schritt 7.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{240}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} - 64$

Schritt 7.2.2.7

Schreibe $- 64$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64}{1}$

Schritt 7.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{- 64}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{- 64}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 225 \cdot 2 + 240 \cdot 2 - 64 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $- 225$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 240 \cdot 2 - 64 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $240$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 480 - 64 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.4.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 480 - 128}{2}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.5.1

Subtrahiere $450$ von $125$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 325 + 480 - 128}{2}$

Schritt 7.2.5.2

Addiere $- 325$ und $480$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{155 - 128}{2}$

Schritt 7.2.5.3

Subtrahiere $128$ von $155$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{27}{2}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{27}{2}$ .

$\frac{27}{2}$

Schritt 7.3

Bei $x = \frac{5}{2}$ ist die Ableitung $\frac{27}{2}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, 4)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, 4)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = 4 {(5)}^{3} - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f' (5) = 4 \cdot 125 - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $125$ .

$f' (5) = 500 - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (5) = 500 - 36 \cdot 25 + 96 (5) - 64$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 36$ mit $25$ .

$f' (5) = 500 - 900 + 96 (5) - 64$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $96$ mit $5$ .

$f' (5) = 500 - 900 + 480 - 64$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $900$ von $500$ .

$f' (5) = - 400 + 480 - 64$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $- 400$ und $480$ .

$f' (5) = 80 - 64$

Schritt 8.2.2.3

Subtrahiere $64$ von $80$ .

$f' (5) = 16$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $16$ .

$16$

Schritt 8.3

Bei $x = 5$ ist die Ableitung $16$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(4, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(4, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(1, 4), (4, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 1)$

Schritt 10