Analysis Beispiele

$x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 3$

Schritt 1

Schreibe $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 3$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 3$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 9 + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 9 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $3 x^{2} + 12 x + 9$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 9$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} + 12 x + 9$ .

$3 x^{2} + 12 x + 9$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 12 x + 9$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) + 12 x + 9 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $12 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (4 x) + 9 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (4 x)$ heraus.

$3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot 3$ heraus.

$3 (x^{2} + 4 x + 3) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 4 x + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 3.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((x + 1) (x + 3)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x + 1) (x + 3) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x + 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 3$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- 1, - 3$ .

$- 1, - 3$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4) + 9$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 + 12 (- 4) + 9$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f' (- 4) = 48 + 12 (- 4) + 9$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 4$ .

$f' (- 4) = 48 - 48 + 9$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $48$ von $48$ .

$f' (- 4) = 0 + 9$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $9$ .

$f' (- 4) = 9$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $9$ .

$9$

Schritt 6.3

Bei $x = - 4$ ist die Ableitung $9$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2) + 9$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = 3 \cdot 4 + 12 (- 2) + 9$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f' (- 2) = 12 + 12 (- 2) + 9$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = 12 - 24 + 9$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $24$ von $12$ .

$f' (- 2) = - 12 + 9$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 12$ und $9$ .

$f' (- 2) = - 3$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 7.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 3, - 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 3, - 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} + 12 (0) + 9$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 + 12 (0) + 9$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 (0) + 9$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 9$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 + 9$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $0$ und $9$ .

$f' (0) = 9$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $9$ .

$9$

Schritt 8.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $9$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 3, - 1)$

Schritt 10