Analysis Beispiele

$g (x) = {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{5}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(3 x - 1)}^{7}$ und $g (x) = {(2 x + 1)}^{5}$ .

${(3 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{5}] + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x + 1$ .

${(3 x - 1)}^{7} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

${(3 x - 1)}^{7} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x + 1$ .

${(3 x - 1)}^{7} (5 {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(3 x - 1)}^{7}$ .

$5 \cdot {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 + 0) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} \cdot 2 + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = 3 x - 1$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x - 1$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x - 1$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} (7 {(3 x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Bringe $7$ auf die linke Seite von ${(2 x + 1)}^{5}$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 \cdot {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 + 0)$

Schritt 5.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} \cdot 3$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$

Schritt 5.7.3

Faktorisiere ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ aus $10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$ heraus.

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Schritt 5.7.3.1

Faktorisiere ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ aus $10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4}$ heraus.

${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1)) + 21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$

Schritt 5.7.3.2

Faktorisiere ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ aus $21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$ heraus.

${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1)) + {(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (21 (2 x + 1))$

Schritt 5.7.3.3

Faktorisiere ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ aus ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1)) + {(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (21 (2 x + 1))$ heraus.

${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1) + 21 (2 x + 1))$