Analysis Beispiele

$y^{2} = x^{3} - 4 x$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

${(0)}^{2} = x^{3} - 4 x$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} - 4 x = {(0)}^{2}$ um.

$x^{3} - 4 x = {(0)}^{2}$

Schritt 1.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{3} - 4 x = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 4 x$ heraus.

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Schritt 1.2.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Schritt 1.2.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ heraus.

$x (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 1.2.3.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.3.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 2, 0), (2, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y^{2} = {(0)}^{3} - 4 \cdot 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$y^{2} = {(0)}^{3} + 0$

Schritt 2.2.2

Addiere ${(0)}^{3}$ und $0$ .

$y^{2} = {(0)}^{3}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y^{2} = 0^{3}$

Schritt 2.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{0^{3}}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{0^{3}}$ .

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Schritt 2.2.5.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.5.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 0$

Schritt 2.2.5.4

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 2, 0), (2, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4