Analysis Beispiele

$- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24$

Schritt 1

Setze $- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24$ gleich $0$ .

$- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$3 (- x^{3}) + 21 x^{2} - 42 x + 24 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $21 x^{2}$ heraus.

$3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2}) - 42 x + 24 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 42 x$ heraus.

$3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 3 (- 14 x) + 24 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 3 (- 14 x) + 3 (8) = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2})$ heraus.

$3 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (- 14 x) + 3 (8) = 0$

Schritt 2.1.1.6

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (- 14 x)$ heraus.

$3 (- x^{3} + 7 x^{2} - 14 x) + 3 (8) = 0$

Schritt 2.1.1.7

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{3} + 7 x^{2} - 14 x) + 3 (8)$ heraus.

$3 (- x^{3} + 7 x^{2} - 14 x + 8) = 0$

Schritt 2.1.2

Gruppiere die Terme um.

$3 (- x^{3} + 8 + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3} + 8$ heraus.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$3 (- (x^{3}) + 8 + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$3 (- (x^{3}) - 1 \cdot - 8 + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - 1 (- 8)$ heraus.

$3 (- (x^{3} - 8) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$3 (- (x^{3} - 2^{3}) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Schritt 2.1.5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$3 (- ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.6.1

Vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 (- ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Schritt 2.1.6.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 (- ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x^{2} - 14 x$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x) - 14 x) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $7 x$ aus $- 14 x$ heraus.

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x) + 7 x (- 2)) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x (x) + 7 x (- 2)$ heraus.

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere $x - 2$ aus $- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x - 2)$ heraus.

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Schritt 2.1.8.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ heraus.

$3 ((x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + 7 x (x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $7 x (x - 2)$ heraus.

$3 ((x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (7 x)) = 0$

Schritt 2.1.8.3

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (7 x)$ heraus.

$3 ((x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x)) = 0$

Schritt 2.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$3 ((x - 2) (- 1 x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 4 + 7 x)) = 0$

Schritt 2.1.10

Vereinfache.

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Schritt 2.1.10.1

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$3 ((x - 2) (- x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 4 + 7 x)) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} - 2 x - 1 \cdot 4 + 7 x)) = 0$

Schritt 2.1.10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} - 2 x - 4 + 7 x)) = 0$

Schritt 2.1.11

Addiere $- 2 x$ und $7 x$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} + 5 x - 4)) = 0$

Schritt 2.1.12

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.12.1

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.12.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.12.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 2.1.12.1.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$3 ((x - 2) (- x^{2} + 5 (x) - 4)) = 0$

Schritt 2.1.12.1.1.1.2

Schreibe $5$ um als $1$ plus $4$

$3 ((x - 2) (- x^{2} + (1 + 4) x - 4)) = 0$

Schritt 2.1.12.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 ((x - 2) (- x^{2} + 1 x + 4 x - 4)) = 0$

Schritt 2.1.12.1.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} + x + 4 x - 4)) = 0$

Schritt 2.1.12.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.12.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 ((x - 2) ((- x^{2} + x) + 4 x - 4)) = 0$

Schritt 2.1.12.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 ((x - 2) (x (- x + 1) - 4 (- x + 1))) = 0$

Schritt 2.1.12.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 1$ .

$3 ((x - 2) ((- x + 1) (x - 4))) = 0$

Schritt 2.1.12.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 ((x - 2) (- x + 1) (x - 4)) = 0$

Schritt 2.1.12.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 2) (- x + 1) (x - 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$- x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.4

Setze $- x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $- x + 1$ gleich $0$ .

$- x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $- x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x - 2) (- x + 1) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, 1, 4$

Schritt 3