Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.1.3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.3.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Schritt 1.1.1.3.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x \ln (x) + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \ln (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.2.5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.2.7

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Schritt 1.1.2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \ln (x) = - 3$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 \ln (x) = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \ln (x) = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.5

Schreibe $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{- \frac{3}{2}}$ um.

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.11$ .

$f'' (0.11) = 2 \ln (0.11) + 3$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $2 \ln (0.11)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (0.11) = \ln ({0.11}^{2}) + 3$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $0.11$ mit $2$ .

$f'' (0.11) = \ln (0.0121) + 3$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (0.0121) + 3$ .

$\ln (0.0121) + 3$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ konkav, weil $f'' (0.11)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f'' (3) = 2 \ln (3) + 3$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $2 \ln (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (3) = \ln (3^{2}) + 3$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (3) = \ln (9) + 3$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (9) + 3$ .

$\ln (9) + 3$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ konvex, weil $f'' (3)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7