Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} - 25}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{x^{2} - 25}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 25}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 25})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 25$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2} - 25$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.5

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Schritt 1.1.1.9

Kombiniere $4$ und $\frac{- x^{2} - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.10.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 25$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 100}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 100) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{({(x^{2} - 25)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 25)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 100) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 100) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{2} - 100$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 100)) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 100)) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 100)) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (- 100)) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.6

Da $- 100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 100$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.7

Addiere $- 8 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 100) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 100) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 100) (2 (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25)))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) (2 x + \frac{d}{d x} (- 25)))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) (2 x))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) (2 \cdot ((x^{2} - 25) x))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 4 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) ((x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 8 {(x^{2} - 25)}^{2} x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.2

Schreibe ${(x^{2} - 25)}^{2}$ als $(x^{2} - 25) (x^{2} - 25)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 8 ((x^{2} - 25) (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3

Multipliziere $(x^{2} - 25) (x^{2} - 25)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} (x^{2} - 25) - 25 (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Bringe $- 25$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} - 25 \cdot x^{2} - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 25$ mit $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} - 25 x^{2} - 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.2

Subtrahiere $25 x^{2}$ von $- 25 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} - 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 8 (- 50 x^{2}) - 8 \cdot 625) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 50$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} + 400 x^{2} - 8 \cdot 625) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $625$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} + 400 x^{2} - 5000) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{4} x + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{1 + 4} + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 (x \cdot x^{2}) - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 (x \cdot x^{2}) - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{1 + 2} - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} + 400) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} + 400) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} + 400) (x^{2 + 1} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} + 400) (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11

Multipliziere $(16 x^{2} + 400) (x^{3} - 25 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{2} (x^{3} - 25 x) + 400 (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 (x^{3} x^{2}) + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{3 + 2} + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 x^{2} x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 (x \cdot x^{2})) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 (x \cdot x^{2})) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 x^{1 + 2}) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 x^{3}) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Mutltipliziere $16$ mit $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} - 400 x^{3} + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Mutltipliziere $- 25$ mit $400$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} - 400 x^{3} + 400 x^{3} - 10000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.2

Addiere $- 400 x^{3}$ und $400 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 0 - 10000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.3

Addiere $16 x^{5}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} - 10000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.2

Addiere $- 8 x^{5}$ und $16 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x - 10000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.3

Subtrahiere $10000 x$ von $- 5000 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 400 x^{3} - 15000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.4.1

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x^{5} + 400 x^{3} - 15000 x$ heraus.

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Schritt 1.1.2.5.4.1.1

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 400 x^{3} - 15000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.2

Faktorisiere $8 x$ aus $400 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (50 x^{2}) - 15000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.3

Faktorisiere $8 x$ aus $- 15000 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (50 x^{2}) + 8 x (- 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.4

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (x^{4}) + 8 x (50 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} + 50 x^{2}) + 8 x (- 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.5

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (x^{4} + 50 x^{2}) + 8 x (- 1875)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} + 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{8 x ({(x^{2})}^{2} + 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (u^{2} + 50 u - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4

Faktorisiere $u^{2} + 50 u - 1875$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.2.5.4.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 1875$ und deren Summe $50$ ist.

$- 25, 75$

Schritt 1.1.2.5.4.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f'' (x) = \frac{8 x ((u - 25) (u + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((x^{2} - 25) (x^{2} + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.6

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{8 x ((x^{2} - 5^{2}) (x^{2} + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.5.5.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x^{2} - 5^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{((x + 5) (x - 5))}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 5) (x - 5)$ an.

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 5$ und ${(x + 5)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.6.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 5) ((8 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.5.6.2.1

Faktorisiere $x + 5$ aus ${(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 5) ((8 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x + 5) ((8 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(8 x (x - 5)) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 5$ und ${(x - 5)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.7.1

Faktorisiere $x - 5$ aus $(8 x (x - 5)) (x^{2} + 75)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((8 x) (x^{2} + 75))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.5.7.2.1

Faktorisiere $x - 5$ aus ${(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((8 x) (x^{2} + 75))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((8 x) (x^{2} + 75))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(8 x) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 x (x^{2} + 75) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 75 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.3.3

Setze $x^{2} + 75$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.1

Setze $x^{2} + 75$ gleich $0$ .

$x^{2} + 75 = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Löse $x^{2} + 75 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Subtrahiere $75$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 75$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 75}$

Schritt 1.2.3.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 75}$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.3.1

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (75)}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{75}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.4

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.3.3.2.3.4.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (5 \sqrt{3})$

Schritt 1.2.3.3.2.3.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 5 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5 i \sqrt{3}, - 5 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $8 x (x^{2} + 75) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 5 i \sqrt{3}, - 5 i \sqrt{3}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} - 25}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{4 x}{x^{2} - 25}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 25 = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 25$

Schritt 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 5, - 5}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 5, - 5}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 5)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f'' (- 8) = \frac{8 (- 8) ({(- 8)}^{2} + 75)}{{((- 8) + 5)}^{3} {((- 8) - 5)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{{(- 8 + 5)}^{3} {(- 8 - 5)}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $- 8$ und $5$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{{(- 3)}^{3} {(- 8 - 5)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 8$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{{(- 3)}^{3} {(- 13)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.3

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{- 27 {(- 13)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $- 13$ mit $3$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{- 27 \cdot - 2197}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 (64 + 75)}{- 27 \cdot - 2197}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $64$ und $75$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 \cdot 139}{- 27 \cdot - 2197}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 2197$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 \cdot 139}{59319}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $139$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 8896}{59319}$

Schritt 4.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 8) = - \frac{8896}{59319}$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{8896}{59319}$ .

$- \frac{8896}{59319}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 5)$ konkav, weil $f'' (- 8)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 5)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 5, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{8 (- 2) ({(- 2)}^{2} + 75)}{{((- 2) + 5)}^{3} {((- 2) - 5)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{{(- 2 + 5)}^{3} {(- 2 - 5)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 2$ und $5$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{3^{3} {(- 2 - 5)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{3^{3} {(- 7)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{27 {(- 7)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $- 7$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{27 \cdot - 343}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 (4 + 75)}{27 \cdot - 343}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $4$ und $75$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 \cdot 79}{27 \cdot - 343}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $27$ mit $- 343$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 \cdot 79}{- 9261}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $79$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1264}{- 9261}$

Schritt 5.2.4.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f'' (- 2) = \frac{1264}{9261}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{1264}{9261}$ .

$\frac{1264}{9261}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 5, 0)$ konvex, weil $f'' (- 2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 5, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, 5)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 (2) ({(2)}^{2} + 75)}{{((2) + 5)}^{3} {((2) - 5)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{{(2 + 5)}^{3} {(2 - 5)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Addiere $2$ und $5$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{7^{3} {(2 - 5)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{7^{3} {(- 3)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{343 {(- 3)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{343 \cdot - 27}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{16 (4 + 75)}{343 \cdot - 27}$

Schritt 6.2.3.2

Addiere $4$ und $75$ .

$f'' (2) = \frac{16 \cdot 79}{343 \cdot - 27}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $343$ mit $- 27$ .

$f'' (2) = \frac{16 \cdot 79}{- 9261}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $16$ mit $79$ .

$f'' (2) = \frac{1264}{- 9261}$

Schritt 6.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (2) = - \frac{1264}{9261}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1264}{9261}$ .

$- \frac{1264}{9261}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(0, 5)$ konkav, weil $f'' (2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, 5)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(5, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f'' (8) = \frac{8 (8) ({(8)}^{2} + 75)}{{((8) + 5)}^{3} {((8) - 5)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{{(8 + 5)}^{3} {(8 - 5)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Addiere $8$ und $5$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{13^{3} {(8 - 5)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $8$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{13^{3} \cdot 3^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $13$ mit $3$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{2197 \cdot 3^{3}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{2197 \cdot 27}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f'' (8) = \frac{64 (64 + 75)}{2197 \cdot 27}$

Schritt 7.2.3.2

Addiere $64$ und $75$ .

$f'' (8) = \frac{64 \cdot 139}{2197 \cdot 27}$

Schritt 7.2.4

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $2197$ mit $27$ .

$f'' (8) = \frac{64 \cdot 139}{59319}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $64$ mit $139$ .

$f'' (8) = \frac{8896}{59319}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{8896}{59319}$ .

$\frac{8896}{59319}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(5, \infty)$ konvex, weil $f'' (8)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(5, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 5)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 5, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(0, 5)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(5, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9