Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{- 1}{x - 5}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x - 5})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x - 5}$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.1.3

Schreibe $\frac{1}{x - 5}$ als ${(x - 5)}^{- 1}$ um.

$f' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{- 1} + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x - 5$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.1.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$f' (x) = - (- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.1.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 1 ({(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.1.5.2

Mutltipliziere ${(x - 5)}^{- 2}$ mit $1$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.1.5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.1.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.1.5.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.1.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.5.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.1.5.6.2

Mutltipliziere ${(x - 5)}^{- 2}$ mit $1$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.1.5.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} + \frac{1}{x - 5} \cdot 0$

Schritt 1.1.1.5.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.5.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 5}$ mit $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} + 0$

Schritt 1.1.1.5.8.2

Addiere ${(x - 5)}^{- 2}$ und $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2}$

Schritt 1.1.1.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.2.1.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ als ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x - 5)}^{2})}^{- 1})$

Schritt 1.1.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{2 \cdot - 1})$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{- 2})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x - 5$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 5)$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Schritt 1.1.2.3.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 1.1.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 1.1.2.3.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{- 1}{x - 5}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{- 1}{x - 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 5 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 5}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 5}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 5)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{{((0) - 5)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{{(- 5)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{- 125}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0) = \frac{2}{125}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{125}$ .

$\frac{2}{125}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 5)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 5)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(5, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f'' (8) = - \frac{2}{{((8) - 5)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $8$ .

$f'' (8) = - \frac{2}{3^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (8) = - \frac{2}{27}$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{27}$ .

$- \frac{2}{27}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(5, \infty)$ konkav, weil $f'' (8)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(5, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 5)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(5, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7