Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

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Schritt 1.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Schritt 1.1.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Schritt 1.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8 x + 41$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))$

Schritt 1.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))$

Schritt 1.1.1.2.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))$

Schritt 1.1.1.2.6

Da $41$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $41$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + 0)$

Schritt 1.1.1.2.7

Addiere $2 x - 8$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8)$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} (2 x - 8)$ um.

$f' (x) = (2 x - 8) (\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41})$

Schritt 1.1.1.3.2

Mutltipliziere $2 x - 8$ mit $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

Schritt 1.1.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 8$ heraus.

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Schritt 1.1.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (x) - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

Schritt 1.1.1.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 4}{x^{2} - 8 x + 41}$

Schritt 1.1.1.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 4$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 4$ und $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.4.2

Mutltipliziere $x^{2} - 8 x + 41$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8 x + 41$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.7

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.9

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.10

Da $41$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $41$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.3.11.1

Addiere $2 x - 8$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Schritt 1.1.2.3.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 + (- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.4.3.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $41$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.4

Multipliziere $(- x + 4) (2 x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.4.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x - 8) + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.4.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.4.3.1.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.4.3.1.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.5.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.5.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.5.2

Addiere $8 x$ und $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 16 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.4.3.1.7.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.7.2

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.1.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 16 x + 82 + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.3

Addiere $- 16 x$ und $32 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 82 - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.3.4

Subtrahiere $64$ von $82$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} + 16 x + 18$ heraus.

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Schritt 1.1.2.4.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $16 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2}) + 2 (8 x)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.2.4.4.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 1.1.2.4.4.2.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.4.2.1.2

Schreibe $8$ um als $- 1$ plus $9$

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.4.4.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.4.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f'' (x) = \frac{2 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.4.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((- x - 1) (x - 9))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.8

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.10

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ um.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (x + 1) (x - 9) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.3.3

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 1.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x + 1) (x - 9) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 9$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$ .

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Schritt 2.1

Setze das Argument in $\ln (x^{2} - 8 x + 41)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{2} - 8 x + 41 > 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Schritt 2.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = 41$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Schritt 2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.3

Subtrahiere $164$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.4

Schreibe $- 100$ als $- 1 (100)$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (100)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.7

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Schritt 2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.3

Subtrahiere $164$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.4

Schreibe $- 100$ als $- 1 (100)$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (100)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.7

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Schritt 2.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 4 + 5 i$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Schritt 2.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.3

Subtrahiere $164$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4

Schreibe $- 100$ als $- 1 (100)$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (100)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.7

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Schritt 2.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 4 - 5 i$

Schritt 2.2.7

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 2.2.7.1

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$x^{2}$

Schritt 2.2.7.2

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$1$

Schritt 2.2.8

Da es keine reellen x-Achsenabschnitte gibt und der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und $x^{2} - 8 x + 41$ ist immer größer als $0$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 9) \cup (9, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.1

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3

Subtrahiere $9$ von $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 + 32 + 41)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $16$ und $32$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(48 + 41)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.4

Addiere $48$ und $41$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{89^{2}}$

Schritt 4.2.2.5

Potenziere $89$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{7921}$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 13$ .

$f'' (- 4) = - \frac{78}{7921}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 1)$ konkav, weil $f'' (- 4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 1, 9)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{({(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Addiere $0$ und $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (1 (0 - 9))}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 9)}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 0 + 41)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 41)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.4

Addiere $0$ und $41$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{41^{2}}$

Schritt 5.2.2.5

Potenziere $41$ mit $2$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{1681}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$f'' (0) = - \frac{- 18}{1681}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0) = \frac{18}{1681}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{18}{1681}$ .

$\frac{18}{1681}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 1, 9)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 1, 9)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(9, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $12$ .

$f'' (12) = - \frac{2 ((12) + 1) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Addiere $12$ und $1$ .

$f'' (12) = - \frac{2 \cdot (13 (12 - 9))}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $13$ .

$f'' (12) = - \frac{26 (12 - 9)}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Subtrahiere $9$ von $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 96 + 41)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Subtrahiere $96$ von $144$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(48 + 41)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Addiere $48$ und $41$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{89^{2}}$

Schritt 6.2.2.5

Potenziere $89$ mit $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{7921}$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $26$ mit $3$ .

$f'' (12) = - \frac{78}{7921}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(9, \infty)$ konkav, weil $f'' (12)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(9, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 1, 9)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(9, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8