Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 12}{x - 4}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 12$ und $g (x) = x - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 4) x) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 4) x - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5

Faktorisiere $x^{2} - 8 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 6, - 2$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f' (x) = \frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 6) (x - 2)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 6) (x - 2)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 6) (x - 2)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 6$ und $g (x) = x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4.2

Mutltipliziere $x - 6$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 6))) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) (1 + 0)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.4.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) \cdot 1) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.8.2

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + x - 2) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 6 - 2) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.8.4

Subtrahiere $2$ von $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Faktorisiere $x - 4$ aus ${(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4])$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.2.1

Faktorisiere $x - 4$ aus ${(x - 4)}^{2} (2 x - 8)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8)) - 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Faktorisiere $x - 4$ aus $- 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4])$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8)) + (x - 4) (- 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.6.2.3

Faktorisiere $x - 4$ aus $(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8)) + (x - 4) (- 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x - 4]))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.7.1

Faktorisiere $x - 4$ aus ${(x - 4)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{(x - 4) {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{(x - 4) {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.10

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) \cdot 1}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.11.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.12.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.12.2.1.1

Multipliziere $(x - 4) (2 x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.12.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 8) - 4 (2 x - 8) + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 8 - 4 (2 x - 8) + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.12.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.12.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.12.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.2.1.3

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 \cdot x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - 8 x + 32 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.2.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 + (- 2 x + 12) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.4

Multipliziere $(- 2 x + 12) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.12.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x (x - 2) + 12 (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + 12 (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.12.2.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.12.2.1.5.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.12.2.1.5.1.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.5.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.5.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 4 x + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.5.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 4 x + 12 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.1.5.2

Addiere $4 x$ und $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 16 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 16 x - 24$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.12.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x + 32 + 0 + 16 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.2.2

Addiere $- 16 x + 32$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x + 32 + 16 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.2.3

Addiere $- 16 x$ und $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 32 - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.2.4

Addiere $0$ und $32$ .

$f'' (x) = \frac{32 - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12.2.3

Subtrahiere $24$ von $32$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8}{{(x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{8}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8}{{(x - 4)}^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8}{{(x - 4)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $8 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{2} - 12}{x - 4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 12}{x - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 4 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 4)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{{((0) - 4)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{{(- 4)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{8}{- 64}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $- 64$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$f'' (0) = \frac{8 (1)}{- 64}$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $- 64$ heraus.

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 8}$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 8}$

Schritt 4.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{1}{- 8}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0) = - \frac{1}{8}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 4)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 4)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f'' (6) = \frac{8}{{((6) - 4)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$f'' (6) = \frac{8}{2^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (6) = \frac{8}{8}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $8$ durch $8$ .

$f'' (6) = 1$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(4, \infty)$ konvex, weil $f'' (6)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 4)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7