Analysis Beispiele

$f (x) = {(x + 4)}^{\frac{6}{7}}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{6}{7}}$ und $g (x) = x + 4$ .

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Schritt 1.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{6}{7}}) \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{6}{7}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} u^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6 - 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.5.2

Subtrahiere $7$ von $6$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.6.2

Kombiniere $\frac{6}{7}$ und ${(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}$ .

$f' (x) = \frac{6 {(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.6.3

Bringe ${(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 1.1.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 1.1.1.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (1 + 0)$

Schritt 1.1.1.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot 1$

Schritt 1.1.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.2.1.1

Da $\frac{6}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ nach $x$ gleich $\frac{6}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 1.1.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ als ${({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1})$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{1}{7} \cdot - 1})$

Schritt 1.1.2.1.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{- 1}{7}})$

Schritt 1.1.2.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{- \frac{1}{7}})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{7}}$ und $g (x) = x + 4$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{7}}) \frac{d}{d x} (x + 4))$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} u^{- \frac{1}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Schritt 1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Schritt 1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1 - 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $7$ von $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 8}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Schritt 1.1.2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{8}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Schritt 1.1.2.7.2

Kombiniere ${(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}$ und $\frac{1}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{{(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4))$

Schritt 1.1.2.7.3

Bringe ${(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4))$

Schritt 1.1.2.7.4

Mutltipliziere $\frac{6}{7}$ mit $\frac{1}{7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7 (7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.2.7.5

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 1.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 1.1.2.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (1 + 0)$

Schritt 1.1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot 1$

Schritt 1.1.2.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$ .

$- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$6 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $6 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = {(x + 4)}^{\frac{6}{7}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt[7]{{(x + 4)}^{6}}$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Der Graph ist konkav, da die zweite Ableitung negativ ist.

Der Graph ist konkav

Schritt 4