Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

Schritt 1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen rechtsseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x^{2} + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Schritt 2.1.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (x^{2} + 2 x)$ ohne Schranke ab.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Schritt 2.1.3

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (x)$ ohne Schranke ab.

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Schritt 2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Schritt 2.2

Da $\frac{- \infty}{- \infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x^{2} + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.8.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 2.3.8.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.8.2.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 2}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.8.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 2$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.8.3

Mutltipliziere $2 x + 2$ mit $\frac{1}{x (x + 2)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.8.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2$ heraus.

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Schritt 2.3.8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.8.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2 (1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.8.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 2.3.9

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{1}{x}}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)} x$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}$ und $x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

Schritt 2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x + 2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + 1}{x + 2}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 2}$

Schritt 3.6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{0 + 2}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Addiere $0$ und $1$ .

$2 \frac{1}{0 + 2}$

Schritt 5.2

Addiere $0$ und $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1}{2})$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$