Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} x^{3} \ln (x)$

Schritt 1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen rechtsseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 0^{+}} x^{3} \ln (x)$

Schritt 2

Schreibe $x^{3} \ln (x)$ als $\frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

Schritt 3.1.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (x)$ ohne Schranke ab.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 3.1.3.2

Da der Zähler eine Konstante ist und der Nenner sich $0$ nähert, wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, geht der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ gegen unendlich.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 3.1.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 3.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 x^{- 4}}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

Schritt 3.3.4.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

Schritt 3.3.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{4}}{3})$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x^{4}}{3}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{4}}{x \cdot 3}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 3$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x (3)}$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

Schritt 3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{3}}{3}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{3}}{3}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x^{3}$

Schritt 4.3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- \frac{1}{3} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0$

Schritt 6.2

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3})$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$0$