Analysis Beispiele

$7000 = 5000 {(1 + \frac{r}{12})}^{120}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $5000 {(1 + \frac{r}{12})}^{120} = 7000$ um.

$5000 {(1 + \frac{r}{12})}^{120} = 7000$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $5000 {(1 + \frac{r}{12})}^{120} = 7000$ durch $5000$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $5000 {(1 + \frac{r}{12})}^{120} = 7000$ durch $5000$ .

$\frac{5000 {(1 + \frac{r}{12})}^{120}}{5000} = \frac{7000}{5000}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5000$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5000 {(1 + \frac{r}{12})}^{120}}{5000} = \frac{7000}{5000}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere ${(1 + \frac{r}{12})}^{120}$ durch $1$ .

${(1 + \frac{r}{12})}^{120} = \frac{7000}{5000}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7000$ und $5000$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $1000$ aus $7000$ heraus.

${(1 + \frac{r}{12})}^{120} = \frac{1000 (7)}{5000}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $1000$ aus $5000$ heraus.

${(1 + \frac{r}{12})}^{120} = \frac{1000 \cdot 7}{1000 \cdot 5}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + \frac{r}{12})}^{120} = \frac{1000 \cdot 7}{1000 \cdot 5}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(1 + \frac{r}{12})}^{120} = \frac{7}{5}$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$1 + \frac{r}{12} = \pm \sqrt[120]{\frac{7}{5}}$

Schritt 4

Schreibe $\sqrt[120]{\frac{7}{5}}$ als $\frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}}$ um.

$1 + \frac{r}{12} = \pm \frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$1 + \frac{r}{12} = \frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{r}{12} = \frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 1$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $12$ .

$12 \frac{r}{12} = 12 (\frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 1)$

Schritt 5.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \frac{r}{12} = 12 (\frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 1)$

Schritt 5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = 12 (\frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 1)$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $12 (\frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 1)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = 12 \frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} + 12 \cdot - 1$

Schritt 5.4.2.1.2

Kombiniere $12$ und $\frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}}$ .

$r = \frac{12 \sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} + 12 \cdot - 1$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$r = \frac{12 \sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 12$

Schritt 5.5

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$1 + \frac{r}{12} = - \frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}}$

Schritt 5.6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{r}{12} = - \frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 1$

Schritt 5.7

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $12$ .

$12 \frac{r}{12} = 12 (- \frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 1)$

Schritt 5.8

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 5.8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \frac{r}{12} = 12 (- \frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 1)$

Schritt 5.8.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = 12 (- \frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 1)$

Schritt 5.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.8.2.1

Vereinfache $12 (- \frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 1)$ .

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Schritt 5.8.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = 12 (- \frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}}) + 12 \cdot - 1$

Schritt 5.8.2.1.2

Multipliziere $12 (- \frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}})$ .

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Schritt 5.8.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$r = - 12 \frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} + 12 \cdot - 1$

Schritt 5.8.2.1.2.2

Kombiniere $- 12$ und $\frac{\sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}}$ .

$r = \frac{- 12 \sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} + 12 \cdot - 1$

Schritt 5.8.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$r = \frac{- 12 \sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 12$

Schritt 5.8.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{12 \sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 12$

Schritt 5.9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \frac{12 \sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 12, - \frac{12 \sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 12$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$r = \frac{12 \sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 12, - \frac{12 \sqrt[120]{7}}{\sqrt[120]{5}} - 12$

Dezimalform:

$r = 0.03369444 \dots, - 24.03369444 \dots$