Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{x - 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 1 x) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 1 x) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 2$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + (x - 2) \cdot 1) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.4.6.1

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ heraus.

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x - 1)}^{2} (2 x - 2)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.2.2

Faktorisiere $x - 1$ aus $- 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) + (x - 1) (- 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.2.3

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) + (x - 1) (- 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x - 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) \cdot 1}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.12.2.1.1

Multipliziere $(x - 1) (2 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.12.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 2) - 1 (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.12.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.12.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.12.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.12.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} + 4 x$ .

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Schritt 2.12.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 2 + 0 + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.2.2

Addiere $- 4 x + 2$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 2 + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.2.3

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.2.4

Addiere $0$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$