Analysis Beispiele

$\frac{1}{1 + t}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $\frac{1}{1 + t}$ als ${(1 + t)}^{- 1}$ um.

$f' (t) = \frac{d}{d t} ({(1 + t)}^{- 1})$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = 1 + t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + t$ .

$f' (t) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d t} (1 + t)$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (t) = - u^{- 2} \frac{d}{d t} (1 + t)$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + t$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} (1 + t)$

Schritt 1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} (1) + \frac{d}{d t} (t))$

Schritt 1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} (t))$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} t$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2}$

Schritt 1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (t) = - \frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = - 1$ und $g (t) = \frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} \cdot \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ als ${({(1 + t)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {({(1 + t)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {(1 + t)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {(1 + t)}^{- 2} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 2}$ und $g (t) = 1 + t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + t$ .

$f'' (t) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (t) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + t$ .

$f'' (t) = - (- 2 {(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Schritt 2.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f'' (t) = 2 ({(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Schritt 2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} (1) + \frac{d}{d t} (t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Schritt 2.4.3

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} (t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Schritt 2.4.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (t) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Schritt 2.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Schritt 2.4.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.4.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ mit $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + 0$

Schritt 2.4.8.2

Addiere $2 {(1 + t)}^{- 3}$ und $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (t) = 2 (\frac{1}{{(1 + t)}^{3}})$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(1 + t)}^{3}}$ .

$f'' (t) = \frac{2}{{(1 + t)}^{3}}$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$f'' (t) = \frac{2}{{(t + 1)}^{3}}$