Analysis Beispiele

$\frac{1}{1 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{1}{1 - x^{2}}$ als ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.5

Multipliziere.

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Schritt 1.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ mit $1$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Schritt 1.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

Schritt 1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Schritt 1.5.1.2

Kombiniere $\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(- x^{2} + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ mit $1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = - x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2} + 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2} + 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $- x^{2} + 1$ aus ${(- x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $- x^{2} + 1$ aus ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere $- x^{2} + 1$ aus $- 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])$ heraus.

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) + (- x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere $- x^{2} + 1$ aus $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) + (- x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))$ heraus.

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $- x^{2} + 1$ aus ${(- x^{2} + 1)}^{4}$ heraus.

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{(- x^{2} + 1) {(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{(- x^{2} + 1) {(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x + 0)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x \cdot x}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 (x^{1} x)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 (x^{1} x^{1})}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x^{1 + 1}}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.16

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17

Addiere $- x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$2 \frac{3 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18

Kombiniere $2$ und $\frac{3 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.19

Vereinfache.

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Schritt 2.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.19.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.19.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.19.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$