Analysis Beispiele

${(1 + \frac{x}{20})}^{5}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = 1 + \frac{x}{20}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + \frac{x}{20}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (1 + \frac{x}{20})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f' (x) = 5 u^{4} \frac{d}{d x} (1 + \frac{x}{20})$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + \frac{x}{20}$ .

$f' (x) = 5 {(1 + \frac{x}{20})}^{4} \frac{d}{d x} (1 + \frac{x}{20})$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{x}{20}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{20}]$ .

$f' (x) = 5 {(1 + \frac{x}{20})}^{4} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{x}{20}))$

Schritt 1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 5 {(1 + \frac{x}{20})}^{4} (0 + \frac{d}{d x} (\frac{x}{20}))$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\frac{x}{20}]$ .

$f' (x) = 5 {(1 + \frac{x}{20})}^{4} \frac{d}{d x} (\frac{x}{20})$

Schritt 1.2.4

Da $\frac{1}{20}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{20}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 {(1 + \frac{x}{20})}^{4} (\frac{1}{20} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{20}$ und $5$ .

$f' (x) = \frac{5}{20} \cdot {(1 + \frac{x}{20})}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2.5.2

Kombiniere $\frac{5}{20}$ und ${(1 + \frac{x}{20})}^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 {(1 + \frac{x}{20})}^{4}}{20} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $20$ .

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Schritt 1.2.5.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 {(1 + \frac{x}{20})}^{4}$ heraus.

$f' (x) = \frac{5 ({(1 + \frac{x}{20})}^{4})}{20} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$f' (x) = \frac{5 {(1 + \frac{x}{20})}^{4}}{5 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{5 {(1 + \frac{x}{20})}^{4}}{5 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{{(1 + \frac{x}{20})}^{4}}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{{(1 + \frac{x}{20})}^{4}}{4} \cdot 1$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $\frac{{(1 + \frac{x}{20})}^{4}}{4}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{{(1 + \frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f' (x) = \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (\frac{x}{20})) + 6 \cdot (1^{2} {(\frac{x}{20})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (x) = \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} (\frac{x}{20})) + 6 \cdot (1^{2} {(\frac{x}{20})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1^{3}$ heraus.

$f' (x) = \frac{1 + 4 (1^{3}) (\frac{x}{20}) + 6 \cdot (1^{2} {(\frac{x}{20})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.2.2

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f' (x) = \frac{1 + 4 (1^{3}) (\frac{x}{4 (5)}) + 6 \cdot (1^{2} {(\frac{x}{20})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} (\frac{x}{4 \cdot 5})) + 6 \cdot (1^{2} {(\frac{x}{20})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{1 + 1^{3} (\frac{x}{5}) + 6 \cdot (1^{2} {(\frac{x}{20})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.3

Kombiniere $1^{3}$ und $\frac{x}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1 + \frac{1^{3} x}{5} + 6 \cdot (1^{2} {(\frac{x}{20})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.2.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (x) = \frac{1 + \frac{1 x}{5} + 6 \cdot (1^{2} {(\frac{x}{20})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + 6 \cdot (1^{2} {(\frac{x}{20})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + 6 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + 6 {(\frac{x}{20})}^{2} + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.7

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{20}$ an.

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + 6 (\frac{x^{2}}{20^{2}}) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.8

Potenziere $20$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + 6 (\frac{x^{2}}{400}) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + 2 (3) (\frac{x^{2}}{400}) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.9.2

Faktorisiere $2$ aus $400$ heraus.

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + 2 \cdot (3 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 200})) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + 2 \cdot (3 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 200})) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.9.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + 3 (\frac{x^{2}}{200}) + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.10

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2}}{200}$ .

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + \frac{3 x^{2}}{200} + 4 \cdot (1 {(\frac{x}{20})}^{3}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.11

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + \frac{3 x^{2}}{200} + 4 {(\frac{x}{20})}^{3} + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.12

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{20}$ an.

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + \frac{3 x^{2}}{200} + 4 (\frac{x^{3}}{20^{3}}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.13

Potenziere $20$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + \frac{3 x^{2}}{200} + 4 (\frac{x^{3}}{8000}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.1.2.14.1

Faktorisiere $4$ aus $8000$ heraus.

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + \frac{3 x^{2}}{200} + 4 (\frac{x^{3}}{4 (2000)}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + \frac{3 x^{2}}{200} + 4 (\frac{x^{3}}{4 \cdot 2000}) + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.14.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{x^{3}}{2000} + {(\frac{x}{20})}^{4}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.15

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{20}$ an.

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{x^{3}}{2000} + \frac{x^{4}}{20^{4}}}{4}$

Schritt 1.3.1.2.16

Potenziere $20$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{5} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{x^{3}}{2000} + \frac{x^{4}}{160000}}{4}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \frac{x}{5} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{x^{3}}{2000} + \frac{x^{4}}{160000}}{4}$ mit $\frac{160000}{160000}$ .

$f' (x) = \frac{160000}{160000} \cdot \frac{1 + \frac{x}{5} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{x^{3}}{2000} + \frac{x^{4}}{160000}}{4}$

Schritt 1.3.2.2

Kombinieren.

$f' (x) = \frac{160000 (1 + \frac{x}{5} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{x^{3}}{2000} + \frac{x^{4}}{160000})}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{160000 \cdot 1 + 160000 (\frac{x}{5}) + 160000 (\frac{3 x^{2}}{200}) + 160000 (\frac{x^{3}}{2000}) + 160000 (\frac{x^{4}}{160000})}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.3.2.4.1

Faktorisiere $5$ aus $160000$ heraus.

$f' (x) = \frac{160000 \cdot 1 + 5 (32000) (\frac{x}{5}) + 160000 (\frac{3 x^{2}}{200}) + 160000 (\frac{x^{3}}{2000}) + 160000 (\frac{x^{4}}{160000})}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{160000 \cdot 1 + 5 \cdot (32000 (\frac{x}{5})) + 160000 (\frac{3 x^{2}}{200}) + 160000 (\frac{x^{3}}{2000}) + 160000 (\frac{x^{4}}{160000})}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{160000 \cdot 1 + 32000 x + 160000 (\frac{3 x^{2}}{200}) + 160000 (\frac{x^{3}}{2000}) + 160000 (\frac{x^{4}}{160000})}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $200$ .

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Schritt 1.3.2.5.1

Faktorisiere $200$ aus $160000$ heraus.

$f' (x) = \frac{160000 \cdot 1 + 32000 x + 200 (800) (\frac{3 x^{2}}{200}) + 160000 (\frac{x^{3}}{2000}) + 160000 (\frac{x^{4}}{160000})}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{160000 \cdot 1 + 32000 x + 200 \cdot (800 (\frac{3 x^{2}}{200})) + 160000 (\frac{x^{3}}{2000}) + 160000 (\frac{x^{4}}{160000})}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{160000 \cdot 1 + 32000 x + 800 (3 x^{2}) + 160000 (\frac{x^{3}}{2000}) + 160000 (\frac{x^{4}}{160000})}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $800$ .

$f' (x) = \frac{160000 \cdot 1 + 32000 x + 2400 x^{2} + 160000 (\frac{x^{3}}{2000}) + 160000 (\frac{x^{4}}{160000})}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2000$ .

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Schritt 1.3.2.7.1

Faktorisiere $2000$ aus $160000$ heraus.

$f' (x) = \frac{160000 \cdot 1 + 32000 x + 2400 x^{2} + 2000 (80) (\frac{x^{3}}{2000}) + 160000 (\frac{x^{4}}{160000})}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{160000 \cdot 1 + 32000 x + 2400 x^{2} + 2000 \cdot (80 (\frac{x^{3}}{2000})) + 160000 (\frac{x^{4}}{160000})}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{160000 \cdot 1 + 32000 x + 2400 x^{2} + 80 x^{3} + 160000 (\frac{x^{4}}{160000})}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $160000$ .

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Schritt 1.3.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{160000 \cdot 1 + 32000 x + 2400 x^{2} + 80 x^{3} + 160000 (\frac{x^{4}}{160000})}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{160000 \cdot 1 + 32000 x + 2400 x^{2} + 80 x^{3} + x^{4}}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.9

Mutltipliziere $160000$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{160000 + 32000 x + 2400 x^{2} + 80 x^{3} + x^{4}}{160000 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.10

Mutltipliziere $160000$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{160000 + 32000 x + 2400 x^{2} + 80 x^{3} + x^{4}}{640000}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{x^{4} + 80 x^{3} + 2400 x^{2} + 32000 x + 160000}{640000}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{640000}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{4} + 80 x^{3} + 2400 x^{2} + 32000 x + 160000}{640000}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{640000} \frac{d}{d x} [x^{4} + 80 x^{3} + 2400 x^{2} + 32000 x + 160000]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 80 x^{3} + 2400 x^{2} + 32000 x + 160000)$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 80 x^{3} + 2400 x^{2} + 32000 x + 160000$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [80 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2400 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32000 x] + \frac{d}{d x} [160000]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (80 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2400 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32000 x) + \frac{d}{d x} (160000))$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (80 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2400 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32000 x) + \frac{d}{d x} (160000))$

Schritt 2.4

Da $80$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $80 x^{3}$ nach $x$ gleich $80 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot (4 x^{3} + 80 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (2400 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32000 x) + \frac{d}{d x} (160000))$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot (4 x^{3} + 80 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2400 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32000 x) + \frac{d}{d x} (160000))$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $3$ mit $80$ .

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot (4 x^{3} + 240 x^{2} + \frac{d}{d x} (2400 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32000 x) + \frac{d}{d x} (160000))$

Schritt 2.7

Da $2400$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2400 x^{2}$ nach $x$ gleich $2400 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot (4 x^{3} + 240 x^{2} + 2400 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (32000 x) + \frac{d}{d x} (160000))$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot (4 x^{3} + 240 x^{2} + 2400 (2 x) + \frac{d}{d x} (32000 x) + \frac{d}{d x} (160000))$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $2$ mit $2400$ .

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot (4 x^{3} + 240 x^{2} + 4800 x + \frac{d}{d x} (32000 x) + \frac{d}{d x} (160000))$

Schritt 2.10

Da $32000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32000 x$ nach $x$ gleich $32000 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot (4 x^{3} + 240 x^{2} + 4800 x + 32000 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (160000))$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot (4 x^{3} + 240 x^{2} + 4800 x + 32000 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (160000))$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $32000$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot (4 x^{3} + 240 x^{2} + 4800 x + 32000 + \frac{d}{d x} (160000))$

Schritt 2.13

Da $160000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $160000$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot (4 x^{3} + 240 x^{2} + 4800 x + 32000 + 0)$

Schritt 2.14

Addiere $4 x^{3} + 240 x^{2} + 4800 x + 32000$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot (4 x^{3} + 240 x^{2} + 4800 x + 32000)$

Schritt 2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{1}{640000} \cdot (4 x^{3}) + \frac{1}{640000} \cdot (240 x^{2}) + \frac{1}{640000} \cdot (4800 x) + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.15.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{640000}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{640000} x^{3} + \frac{1}{640000} \cdot (240 x^{2}) + \frac{1}{640000} \cdot (4800 x) + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.2

Kombiniere $\frac{4}{640000}$ und $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3}}{640000} + \frac{1}{640000} \cdot (240 x^{2}) + \frac{1}{640000} \cdot (4800 x) + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $640000$ .

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Schritt 2.15.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3})}{640000} + \frac{1}{640000} \cdot (240 x^{2}) + \frac{1}{640000} \cdot (4800 x) + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.15.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $640000$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 160000} + \frac{1}{640000} \cdot (240 x^{2}) + \frac{1}{640000} \cdot (4800 x) + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 160000} + \frac{1}{640000} \cdot (240 x^{2}) + \frac{1}{640000} \cdot (4800 x) + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{1}{640000} \cdot (240 x^{2}) + \frac{1}{640000} \cdot (4800 x) + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.4

Kombiniere $240$ und $\frac{1}{640000}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{240}{640000} x^{2} + \frac{1}{640000} \cdot (4800 x) + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.5

Kombiniere $\frac{240}{640000}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{240 x^{2}}{640000} + \frac{1}{640000} \cdot (4800 x) + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $240$ und $640000$ .

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Schritt 2.15.2.6.1

Faktorisiere $80$ aus $240 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{80 (3 x^{2})}{640000} + \frac{1}{640000} \cdot (4800 x) + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.15.2.6.2.1

Faktorisiere $80$ aus $640000$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{80 (3 x^{2})}{80 (8000)} + \frac{1}{640000} \cdot (4800 x) + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{80 (3 x^{2})}{80 \cdot 8000} + \frac{1}{640000} \cdot (4800 x) + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{3 x^{2}}{8000} + \frac{1}{640000} \cdot (4800 x) + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.7

Kombiniere $4800$ und $\frac{1}{640000}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{3 x^{2}}{8000} + \frac{4800}{640000} x + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.8

Kombiniere $\frac{4800}{640000}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{3 x^{2}}{8000} + \frac{4800 x}{640000} + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4800$ und $640000$ .

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Schritt 2.15.2.9.1

Faktorisiere $1600$ aus $4800 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{3 x^{2}}{8000} + \frac{1600 (3 x)}{640000} + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.15.2.9.2.1

Faktorisiere $1600$ aus $640000$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{3 x^{2}}{8000} + \frac{1600 (3 x)}{1600 (400)} + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{3 x^{2}}{8000} + \frac{1600 (3 x)}{1600 \cdot 400} + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{3 x^{2}}{8000} + \frac{3 x}{400} + \frac{1}{640000} \cdot 32000$

Schritt 2.15.2.10

Kombiniere $\frac{1}{640000}$ und $32000$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{3 x^{2}}{8000} + \frac{3 x}{400} + \frac{32000}{640000}$

Schritt 2.15.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32000$ und $640000$ .

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Schritt 2.15.2.11.1

Faktorisiere $32000$ aus $32000$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{3 x^{2}}{8000} + \frac{3 x}{400} + \frac{32000 (1)}{640000}$

Schritt 2.15.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.15.2.11.2.1

Faktorisiere $32000$ aus $640000$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{3 x^{2}}{8000} + \frac{3 x}{400} + \frac{32000 \cdot 1}{32000 \cdot 20}$

Schritt 2.15.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{3 x^{2}}{8000} + \frac{3 x}{400} + \frac{32000 \cdot 1}{32000 \cdot 20}$

Schritt 2.15.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{160000} + \frac{3 x^{2}}{8000} + \frac{3 x}{400} + \frac{1}{20}$